解:(1)任取,且, 则, 当a>0时,,F(x)在[m,n]上单调递增; 当a<0时,,F(x)在[m,n]上单调递减。 (2)由(1)知,函数af(x)在[m,n]上单调递增, 因为a>0,所以,f(x)在[m,n]上单调递增, 又f(x)的定义域和值域都是[m,n], ∴f(m)=m,f(n)=n, 即m,n是方程=x的两个不等的正根, 等价于方程有两个不等的正根, 等价于且,, 则a>, ∴n-m=, ∴a=时,n-m最大,最大值为。 (3), 则不等式对x≥1恒成立, 即, 则不等式对x≥1恒成立, 令h(x)=,易证h(x)在[1,+∞)递增; 同理在[1,+∞)递减, ∴, ∴,解得:, ∴a的取值范围是[,1]。 |