试题分析:(1)因为函数当时,求函数的极小值,即对函数求导通过求出极值点,即可求出极小值. (2)过曲线外一点作曲线的切线,是通过求导得到切线的斜率等于切点与这点斜率.建立一个等式,从而确定切点横坐标的大小,由于该方程不能直接求解,所以通过估算一个值,在证明该函数的单调性,即可得到切点的横坐标. (3)因为根据定义在上的函数在点处的切线方程为当时,若在内恒成立,则称为函数的“转点”.该定义等价于切线穿过曲线,在的两边的图像分别在的上方和下方恒成立.当时,通过讨论函数的单调性即最值即可得结论. 试题解析:(1)当时,, 当时,;当时;当时. 所以当时,取到极小值. (2),所以切线的斜率 整理得,显然是这个方程的解, 又因为在上是增函数, 所以方程有唯一实数解,故. (3)当时,函数在其图象上一点处的切线方程为 , 设,则, 若,在上单调递减, 所以当时,此时; 所以在上不存在“转点”. 若时,在上单调递减,所以当时, ,此时, 所以在上不存在“转点”. 若时,即在上是增函数, 当时,, 当时,, 即点为“转点”, 故函数存在“转点”,且是“转点”的横坐标. |