如图,对每个正整数n,An(xn,yn)是抛物线x2=4y上的点,过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点Bn(sn,tn),(Ⅰ)试证:xnsn=-4(n≥1);
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如图,对每个正整数n,An(xn,yn)是抛物线x2=4y上的点,过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点Bn(sn,tn),(Ⅰ)试证:xnsn=-4(n≥1);
题型:重庆市高考真题
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如图,对每个正整数n,A
n
(x
n
,y
n
)是抛物线x
2
=4y上的点,过焦点F的直线FA
n
交抛物线于另一点B
n
(s
n
,t
n
),
(Ⅰ)试证:x
n
s
n
=-4(n≥1);
(Ⅱ)取x
n
=2
n
,并记C
n
为抛物线上分别以A
n
与B
n
为切点的两条切线的交点.试证:|FC
1
|+|FC
2
|+…+|FC
n
|=2
n
-2
-n+1
+1(n≥1)。
答案
证明:(Ⅰ)对任意固定的n≥1,
因为焦点F(0,1),所以可设直线A
n
B
n
的方程为y-1=
,
将它与抛物线方程
联立得
,
由一元二次方程根与系数的关系得
。
(Ⅱ)对任意固定的n≥1,
利用导数知识易得抛物线
在A
n
处的切线的斜率
,
故
在A
n
处的切线方程为
,①
类似地,可求得
在B
n
处的切线方程为
,②
由②减去①得
,
从而
,
,
,③
将③代入①并注意
得交点C
n
的坐标为(
,-1),
由两点间的距离公式得
,
从而
,
现在
,利用上述已证结论并由等比数列求和公式得,
举一反三
曲线y=e
x
在点(2,e
2
)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为
[ ]
A.
B.2
C.
D.
题型:海南省高考真题
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曲线
在点(4,e
2
)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
[ ]
A、
B、4e
2
C、2e
2
D、e
2
题型:海南省高考真题
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|
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已知函数y=e
x
的图象在点
处的切线与x轴的交点的横坐标为a
k+1
,其中k∈N*,a
1
=0,则a
1
+a
3
+a
5
=( )。
题型:0110 期中题
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[ ]
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B.ln2+1
C.ln2
D.2ln2
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难度:
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