已知f(x)是定义域为R的奇函数，f(－4)＝－1，f(x)的导函数f′(x)的图像如图X18－1所示．若两正数a，b满足f(a＋2b)<1，则的取值范围

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已知f(x)是定义域为R的奇函数，f(－4)＝－1，f(x)的导函数f′(x)的图像如图X18－1所示．若两正数a，b满足f(a＋2b)<1，则的取值范围是(　　)

A．

B．(－∞，－1)

C．(－1，0)

D．

答案

D

解析

因为f(x)是定义域为R的奇函数，f(－4)＝－1，所以f(4)＝1.又因为f′(x)≥0恒成立，所以函数f(x)在R上单调递增．若两正数a，b满足f(a＋2b)<1，则把b看作横坐标，a看作纵坐标，则线性约束条件的可行域是以点(0，0)，(2，0)，(0，4)为顶点的三角形. 的几何意义为过点(－2，－2)和(b，a)的直线的斜率，由可行域知，当(b，a)为点(2，0)时，取最小值，其最小值为＝；当(b，a)为点(0，4)时，取最大值，其最大值为＝3.故的取值范围是.