解:(1)证明: f′(x)=(x-b)[3x-(2a+b)], 因为a≠b,所以b≠, 所以f′(x)=0有两个不等实根b和, 所以f(x)存在极大值和极小值. (2)①当a=b时,f(x)不存在减区间; ②当a>b时,由(1)知x1=b,x2=, 所以A(b,0),B, 所以=-, 即4(a-b)3=9(a-b), 所以a-b=或a-b=-(舍去); ③当a<b时,x1=,x2=b. 同理可得a-b=-或a-b=(舍去). 综上,a>b且a-b=或a<b且a-b=-. 所以f(x)的减区间为,即(b,b+1)或f(x)的减区间为,即(b-1,b); f′(x)的减区间为或. 所以公共减区间为或,长度均为. (3)由题意f(x)≥mxf′(x), 所以(x-a)(x-b)2≥mx(x-b)[3x-(2a+b)], 所以(x-b){(1-3m)x2+[m(2a+b)-(a+b)]x+ab}≥0. 若m≠,则左边是一个一次因式乘一个恒正(或恒负)的二次三项式,或者是三个一次因式的积,无论哪种情况,总有一个一次因式的指数是奇次的,这个因式的零点左右的符号不同,因此不可能恒非负. 所以m=, 所以(x-b)[(a+2b)x-3ab]≤0. 若a+2b=0,则a=-2b,所以a=b=0; 若a+2b≠0,则x1=b,x2=, 所以 ①若b=0,则a<0; ②若b≠0,则=1,所以a=b且b<0. 综上,m=,a=b≤0. |