解:(1)证明: f′(x)=(x-b)[3x-(2a+b)], 因为a≠b,所以b≠ , 所以f′(x)=0有两个不等实根b和 , 所以f(x)存在极大值和极小值. (2)①当a=b时,f(x)不存在减区间; ②当a>b时,由(1)知x1=b,x2= , 所以A(b,0),B , 所以 =- , 即4(a-b)3=9(a-b), 所以a-b= 或a-b=- (舍去); ③当a<b时,x1= ,x2=b. 同理可得a-b=- 或a-b= (舍去). 综上,a>b且a-b= 或a<b且a-b=- . 所以f(x)的减区间为 ,即(b,b+1)或f(x)的减区间为 ,即(b-1,b); f′(x)的减区间为 或 . 所以公共减区间为 或 ,长度均为 . (3)由题意f(x)≥mxf′(x), 所以(x-a)(x-b)2≥mx(x-b)[3x-(2a+b)], 所以(x-b){(1-3m)x2+[m(2a+b)-(a+b)]x+ab}≥0. 若m≠ ,则左边是一个一次因式乘一个恒正(或恒负)的二次三项式,或者是三个一次因式的积,无论哪种情况,总有一个一次因式的指数是奇次的,这个因式的零点左右的符号不同,因此不可能恒非负. 所以m= , 所以(x-b)[(a+2b)x-3ab]≤0. 若a+2b=0,则a=-2b,所以a=b=0; 若a+2b≠0,则x1=b,x2= , 所以![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191018/20191018090539-51610.png) ①若b=0,则a<0; ②若b≠0,则 =1,所以a=b且b<0. 综上,m= ,a=b≤0. |