试题分析:(Ⅰ)利用函数 的导函数 来研究的单调性,进一步求极值. (Ⅱ)构造函数 通过导函数 来研究的单调性,(Ⅲ)注意运用第(Ⅱ)问产生的单调性结论来研究函数 在区间 上的增减性,判断函数值取得负值时 的取值范围,尤其注意在时不成立的证明, 试题解析:(Ⅰ)当 时, ,定义域为, ,当时,;当时,. 所以单调减区间为;单调增区间为, 故时,有极小值,极小值为1. 3分 (Ⅱ),则 , 4分 因为所以令得. 若,即,则恒成立,则在上为增函数; 若,即,则时,,时, 所以此时单调减区间为;单调增区间为 7分 (Ⅲ)由第(Ⅱ)问的解答可知只需在上存在一点,使得. 若时,只需,解得,又,所以满足条件. 8分 若,即时,同样可得,不满足条件. 9分 若,即时,在处取得最小值, 10分 令, 即,所以 11分 设,考察式子,由,所以左端大于1,而右端小于1,所以不成立. 当,即时,在上单调递减,只需得 >,又因为,所以,>或 12分 |