设函数＝，∈R，为自然对数的底数， ，如果对任意的∈(0,3]，恒有≤4成立，求的取值范围.

题型：不详难度：来源：

设函数＝，∈R，为自然对数的底数， ，如果对任意的∈(0,3]，恒有≤4成立，求的取值范围.

答案

解：(x)= ()(2ln x+1－).
当时，对于任意的实数a,恒有成立；
当，由题意，首先有，
解得，
，∵
∴，，
且=。
又在（0，+∞）内单调递增，所以函数在（0，+∞）内有唯一零点，记此零点为，则，。从而，当时，；当时，；当时，，即在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增。所以要使对恒成立，
只要成立。，
知③，将③代入①得，又，注意到函数在[1,+∞)内单调递增，故。再由③以及函数2xlnx+x在（1，+∞)内单调递增，可得。由②解得，。所以
综上，a的取值范围为。

解析

略