设函数f(x)=(x-1)ex-kx2(k∈R).(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当k∈(12,1]时,求函数f(x)在[0,k]上的最大值M
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设函数f(x)=(x-1)ex-kx2(k∈R).(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当k∈(12,1]时,求函数f(x)在[0,k]上的最大值M
题型:广东
难度:
来源:
设函数f(x)=(x-1)e
x
-kx
2
(k∈R).
(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当
k∈(
1
2
,1]
时,求函数f(x)在[0,k]上的最大值M.
答案
(1)当k=1时,f(x)=(x-1)e
x
-x
2
f"(x)=e
x
+(x-1)e
x
-2x=x(e
x
-2)
令f"(x)=0,解得x
1
=0,x
2
=ln2>0
所以f"(x),f(x)随x的变化情况如下表:
x
(-∞,0)
0
(0,ln2)
ln2
(ln2,+∞)
f"(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
解析
x
(0,ln(2k))
ln(2k)
(ln(2k),k)
f"(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
举一反三
已知函数f(x)=x
2
+xsinx+cosx.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值;
(Ⅱ)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围.
题型:北京
难度:
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已知a为常数,函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点x
1
,x
2
(x
1
<x
2
)( )
A.
f(
x
1
)>0,f(
x
2
)>-
1
2
B.
f(
x
1
)<0,f(
x
2
)<-
1
2
C.
f(
x
1
)>0,f(
x
2
)<-
1
2
D.
f(
x
1
)<0,f(
x
2
)>-
1
2
题型:湖北
难度:
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已知函数
f(x)=4x+
a
x
(x>0,a>0)
在x=3时取得最小值,则a=______.
题型:四川
难度:
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已知函数f(x)=e
x
-ln(x+m)
(Ι)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)>0.
题型:不详
难度:
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已知函数
f(x)=
1
3
x
3
-m
x
2
-x+
1
3
m
,其中m∈R.
(1)求函数y=f(x)的单调区间;
(2)若对任意的x
1
,x
2
∈[-1,1],都有|f′(x
1
)-f′(x
2
)|≤4,求实数m的取值范围;
(3)求函数f(x)的零点个数.
题型:不详
难度:
|
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