(1)f′(x)=x+-(3a+1), 由已知f"(1)=3,即2a2-a=3,2a2-a-3=0, 解得a=或a=-1.…(2分) 又因为a>0,所以a=.…(3分) (2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),…(4分) f′(x)=x+-(3a+1)==, ①当2a>a+1,即a>1时, 由f"(x)>0得x>2a或0<x<a+1, 因此函数f(x)的单调增区间是(0,a+1)和(2a,+∞). ②当2a<a+1,即0<a<1时, 由f"(x)>0得x>a+1或0<x<2a, 因此函数f(x)的单调增区间是(0,2a)和(a+1,+∞). ③当2a=a+1,即a=1时f"(x)≥0恒成立(只在x=2a处等于0), 所以函数在定义域(0,+∞)上是增函数.…(7分) 综上:①当a>1时,函数f(x)的单调增区间是(0,a+1)和(2a,+∞); ②当0<a<1时,函数f(x)的单调增区间是(0,2a)和(a+1,+∞); ③当a=1时,函数f(x)的单调增区间是(0,+∞).…(8分) (3)当a=时,f(x)=+lnx-, 由(2)知该函数在(0,)上单调递增, 因此在区间[1,2]上f(x)的最小值只能在x=1处取到.…(10分) 又f(1)=-=-5, 若要保证对任意x∈[1,2],f(x)-b2-6b≥0恒成立, 应该有-5≥b2+6b,即b2+6b+5≤0,解得-5≤b≤-1, 因此实数b的取值组成的集合是{b|-5≤b≤-1}.…(12分) |