已知函数f(x)=lnx+ax-a2x2(a∈R).(I)若x=1是函数y=f(x)的极值点,求a的值;(II)求函数f(x)的单调区间.
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=lnx+ax-a2x2(a∈R). (I)若x=1是函数y=f(x)的极值点,求a的值; (II)求函数f(x)的单调区间. |
答案
(I)因为f(x)=lnx+ax-a2x2其定义域为(0,+∞), 所以f′(x)=-2a2x+a== ∵x=1是函数y=f(x)的极值点 ∴f′(1)=0 ∴1+a-2a2=0 ∴a=-或a=1 经检验,a=-或a=1时,x=1是函数y=f(x)的极值点 (II)f′(x)=-2a2x+a== 若a=0,f′(x)=>0,∴函数的单调递增区间为(0,+∞) 若a≠0,令f′(x)==0,∴x1=-,x2= 当a>0时,函数在区间(0,),f′(x)>0,函数为增函数;在区间(,+∞),f′(x)<0,函数为减函数 ∴函数的单调递增区间为(0,),函数的单调递减区间为(,+∞) 当a<0时,函数在区间(0,-),f′(x)>0,函数为增函数;在区间(-,+∞),f′(x)<0,函数为减函数 ∴函数的单调递增区间为(0,-),函数的单调递减区间为(-,+∞) |
举一反三
函数y=2x+sinx的单调递增区间是______. |
已知函数f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m. (I)求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t); (II)是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由. |
(1)证明:f(x)=x4在(-∞,+∞)上不具有单调性. (2)已知g(x)=在(-2,+∞)上是增函数,求a的取值范围. |
已知a为实数,f(x)=(x2-4)(x-a),f′(x)为f(x)的导函数. (Ⅰ)若f′(-1)=0,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值; (Ⅱ)若f(x)在(-∞,-2]和[2,+∞)上均单调递增,求a的取值范围. |
已知函数f(x)=xlnx (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)设函数f(x)的最小值为M,求与曲线y=f(x)相切且斜率为e•M(其中e为常数)的切线方程. |
最新试题
热门考点