(1)∵函数f(x)=x3-ax2-x+1(a∈R), ∴f′(x)=x2-2ax-1, ∵函数f(x)在x=x1,x=x2处取得极值, ∴x1+x2=2a,x1•x2=-1, ∵|x1-x2|=2, ∴==2, ∴a=0. ∴f′(x)=x2-1, 由f′(x)=x2-1>0,得x<-1,或x>1; 由f′(x)=x2-1<0,得-1<x<1, ∴f(x)在(-∞,-1)增,在(-1,1)减,在(1,+∞)增. (2)设 F(x)=f(x)-g(x), ∵f(x)=x3-ax2-x+1(a∈R), g(x)=x2-(2a+1)x+,(-2≤x≤0), ∴F(x)=x3-(a+)x2+2ax+, ∴F′(x)=x2-(2a+1)x+2a=(x-1)(x-2a), ∵0<a<,-2≤x≤0, ∴F′(x)=x2-(2a+1)x+2a=(x-1)(x-2a)>0, F(x)在[-2,0]上是增函数, ∵F(-2)=--4a-2-4a+<0, F(0)=>0, ∴曲线f(x)与g(x)=x2-(2a+1)x+,(-2≤x≤0)的交点个数是1个. |