已知三次函数f(x)=4x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R)(1)如果f(x)是奇函数,过点(2,10)作y=f(x)图象的切线l,若这样的切线有三条,求实
题型:不详难度:来源:
已知三次函数f(x)=4x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R) (1)如果f(x)是奇函数,过点(2,10)作y=f(x)图象的切线l,若这样的切线有三条,求实数b的取值范围; (2)当-1≤x≤1时有-1≤f(x)≤1,求a,b,c的所有可能的取值. |
答案
解 (1)∵f(x)是奇函数,∴由f(-x)=-f(x)得a=c=0, ∴f(x)=4x3+bx,f′(x)=12x2+b. 设切点为P(t,4t3+bt),则切线l的方程为y-(4t3+bt)=(12t2+b)(x-t), 由于切线l过点(2,10),∴10-(4t3+bt)=(12t2+b)(2-t),整理得b=4t3-12t2+5, 令g(t)=4t3-12t2+5-b,则g′(t)=12t2-24t=12t(t-2), ∴g(t)在(-∞,0)上是增函数,在(0,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数, 要使切线l有三条,当且仅当g(t)=0有三个实数根, g(t)=0有三个实数根,当且仅当g(0)>0,且g(2)<0,解得-11<b<5. (2)由题意,当x=±1,±时,均有-1≤f(x)≤1,故 -1≤4+a+b+c≤1,① -1≤-4+a-b+c≤1, 即-1≤4-a+b-c≤1,② -1≤+++c≤1,③ -1≤-+-+c≤1, 即-1≤-+-c≤1,④ ①+②得-2≤8+2b≤2,从而b≤-3; ③+④得-2≤1+2b≤2,从而b≥-3,故b=-3. 代入①②③④得a+c=0,+c=0,从而a=c=0. 下面证明:f(x)=4x3-3x满足条件. 事实上,f′(x)=12x2-3=3(2x+1)(2x-1),所以f(x)在(-1,-)上单调递增,在(-,)上单调递减,在(,1)上单调递增, 而f(-1)=-1,f(-)=1,f()=-1,f(1)=1,所以当-1≤x≤1时 f(x)满足-1≤f(x)≤1. |
举一反三
A﹑B﹑C是直线l上的三点,向量﹑﹑满足:-[y+2f"(1)]•+ln(x+1)•=; (Ⅰ)求函数y=f(x)的表达式; (Ⅱ)若x>0,证明f(x)>; (Ⅲ)当x2≤f(x2)+m2-2bm-3时,x∈[-1,1]及b∈[-1,1]都恒成立,求实数m的取值范围. |
已知函数f(x)=(bx+c)lnx在x=处取得极值,且在x=1处的切线的斜率为1. (Ⅰ)求b,c的值及f(x)的单调减区间; (Ⅱ)设p>0,q>0,g(x)=f(x)+x2,求证:5g()≤3g(p)+2g(q). |
已知函数f(x)=(a-)e2x+x.(a∈R) (Ⅰ)若f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,求实数a的取值范围; (Ⅱ)若在区间(0,+∞)上,函数f(x)的图象恒在曲线y=2aex下方,求a的取值范围. |
已知函数f(x)=-2a2lnx+x2+ax(a∈R). (Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))的切线方程; (Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性. |
已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则( )A.当k=1时,f(x)在x=1处取得极小值 | B.当k=1时,f(x)在x=1处取得极大值 | C.当k=2时,f(x)在x=1处取得极小值 | D.当k=2时,f(x)在x=1处取得极大值 |
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