设函数f（x）=（1+x）2-2ln（1+x）．（1）求f（x）的单调区间；（2）当0<a<2时，求函数g（x）=f（x）-x2-ax-1在区间[0

题型：山东省模拟题难度：来源：

设函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当0<a<2时，求函数g（x）=f（x）-x²-ax-1在区间[0，3]上的最小值．

答案

（1）定义域为（-1，+∞）．
．                            
令f "（x）>0，则，
所以x<-2或x>0．    
因为定义域为（-1，+∞），所以x>0．                            
令f "（x）<0，则，所以-2<x<0．
因为定义域为（-1，+∞），所以-1<x<0．
所以函数的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-1，0）．
（2）g（x）=（2-a）x-2ln（1+x），（x>-1）
．                          
因为0<a<2，所以2-a>0，．
令g’（x）>0， 可得．
所以函数g（x）在上为减函数，在上为增函数．
①当，即时，            
在区间[0，3]上，g（x）在上为减函数，在上为增函数．
所以．              
②当，即时，g（x）在区间（0，3）上为减函数．
所以g（x）_min=g（3）=6-3a-2ln4．                
综上所述，当时，；
当时，g（x）_min=g（3）=6-3a-2ln4．