解:(1)由f(e)=2,代入f(x)=-ax+b+axlnx,得b=2; (2)由(1)可得f(x)=-ax+2+axlnx,函数f(x)的定义域为(0,+∞),从而f′(x)=alnx, ∵a≠0,故 ①当a>0时,由f′(x)>0得x>1, 由f′(x)<0得0<x<1; ②当a<0时,由f′(x)>0得0<x<1,由f′(x)<0得x>1; 综上,当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1); 当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞); (3)当a=1时,f(x)=-x+2+xlnx,f′(x)=lnx, 由(2)可得,当x∈( ,e),f(x),f′(x)变化情况如下表:
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019011222-92829.gif) 因为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019011222-83584.gif) 所以y=f(x)在 上的值域为[1,2], 据此可得,若 则对每一个 直线 与曲线![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019011223-30670.gif) 都有公共点;并且对每一个 ,直线 与曲线![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019011224-61001.gif) 都没有公共点 综上,当 时,存在最小的实数 ,最大的实数 ,使得对每一个 ,直线 与曲线 ( )都有公共点。 |