解:(1)∵f ′(x)=x2+2ax-b , ∴ 由题意可知:f ′(1)=-4且f (1)= - , ∴ 解得: …………………………3分 ∴ f (x)= x3-x2-3x。 f ′(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3). 令f ′(x)=0,得x1=-1,x2=3, 由此可知:
x
| (-∞,-1)
| -1
| (-1, 3)
| 3
| (3, +∞)
| f ’(x)
| +
| 0
| -
| 0
| +
| f (x)
| ↗
| f (x)极大5/3
| ↘
| f (x) 极小
| ↗
|
∴ 当x=-1时, f (x)取极大值 . …………………………6分 (2)∵y="f" (x)在区间[-1,2]上是单调减函数, ∴f ′(x)=x2+2ax-b≤0在区间[-1,2]上恒成立. 根据二次函数图象可知f ′(-1)≤0且f ′(2)≤0,即:
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019024731-45328.gif) 也即 …………………9分 作出不等式组表示的平面区域如图: 当直线z=a+b经过交点P(- , 2)时, z=a+b取得最小值z=- +2= , ∴z=a+b取得最小值为 ……………………12分 |