已知曲线C1:y=x2e+e(e为自然对数的底数),曲线C2:y=2elnx和直线m:y=2x.(I)求证:直线m与曲线C1、C2都相切,且切于同一点;(II)
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已知曲线C1:y=x2e+e(e为自然对数的底数),曲线C2:y=2elnx和直线m:y=2x.(I)求证:直线m与曲线C1、C2都相切,且切于同一点;(II)
题型:不详
难度:
来源:
已知曲线C
1
:y=
x
2
e
+e(e为自然对数的底数),曲线C
2
:y=2elnx和直线m:y=2x.
(I)求证:直线m与曲线C
1
、C
2
都相切,且切于同一点;
(II)设直线x=t(t>0)与曲线C
1
、C
2
及直线m分别交于M、N、P,记f(t)=|MP|-|PN|,求f(t)在[e
-3
,e
3
]上的最大值.
答案
(I)对于曲线C
1
:
y=
x
2
e
+e
,设切点P(a,b),有
2a
e
=2
∴a=e,故切点为P(e,2e),
切线:y-2e=2(x-e),即y=2x.所以直线m与曲线C
1
相切于点P(e,2e)
同理可证直线m与曲线C
2
也相切于点P(e,2e).
(II)由题意易得M(t,
t
2
e
+e
),N(t,2eln
t
),P(t,2t)
∴由两点间的距离公式可得
|MP|=
t
2
e
+e-2t
,|PN|=2t-2eln
t
,
∴f(t)=
t
2
e
+2e
ln
t
-4t+e(
e
-3
≤t≤
e
3
)
f
′
(t)=
2t
e
+
2e
t
-4
=
2
(t-e)
2
t
≥0
∴f(t)在[e
-3
,e
3
]上单调增,故y
max
=f(e
3
)=e
5
-4e
3
+7e.
举一反三
曲线y=-x
2
+1在点(1,0)处的切线方程为( )
A.y=x-1
B.y=-x+1
C.y=2x-2
D.y=-2x+2
题型:不详
难度:
|
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已知定义在R上的奇函数f(x)=x
3
+bx
2
+cx+d在x=±1处取得极值.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)试证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x
1
,x
2
,都有|f(x
1
)-f(x
2
)|≤4成立.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=elnx,g(x)=e
-1
•f(x)-(x+1).(e=2.718…)
(1)求函数g(x)的极大值;
(2 )求证:
1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
>ln(n+1)(n∈
N
*
)
;
(3)对于函数f(x)与h(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,b,使得f(x)≤kx+b和h(x)≥kx+b都成立,则称直线y=kx+b为函数f(x)与h(x)的“分界线”.设函数
h(x)=
1
2
x
2
,试探究函数f(x)与h(x)是否存在“分界线”?若存在,请加以证明,并求出k,b的值;若不存在,请说明理由.
题型:厦门模拟
难度:
|
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曲线y=2x+sinx在点(π,2π)处的切线斜率为______.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=-x
3
+ax
2
+1,(a∈R)
(1)若在f(x)的图象上横坐标为
2
3
的点处存在垂直于y轴的切线,求a的值;
(2)若f(x)在区间(-2,3)内有两个不同的极值点,求a取值范围;
(3)在(1)的条件下,是否存在实数m,使得函数g(x)=x
4
-5x
3
+(2-m)x
2
+1的图象与函数f(x)的图象恰有三个交点,若存在,试出实数m的值;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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