已知f(x)=ax-lnx,a∈R(Ⅰ)当a=2时,求曲线f(x)在点(1,f(x))处的切线方程;(Ⅱ)若f(x)在x=1处有极值,求f(x)的单调递增区间;
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已知f(x)=ax-lnx,a∈R (Ⅰ)当a=2时,求曲线f(x)在点(1,f(x))处的切线方程; (Ⅱ)若f(x)在x=1处有极值,求f(x)的单调递增区间; (Ⅲ)是否存在实数a,使f(x)在区间(0,e]的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. |
答案
(I)当a=2时,f(x)=2x-lnx,函数的定义域为(0,+∞) 求导函数可得:f′(x)=2- ∴f′(1)=1,f(1)=2 ∴曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0; (II)∵f(x)在x=1处有极值,∴f′(1)=0 ∵f′(x)=a- ∴a-1=0,∴a=1 ∴f′(x)=1- 令f′(x)>0,可得x<0或x>1 ∵x>0,∴x>1 ∴f(x)的单调递增区间为(1,+∞); (III)假设存在实数a,使f(x)在区间(0,e]的最小值是3, ①当a≤0时,∵x∈(0,e],∴f′(x)<0,∴f(x)在区间(0,e]上单调递减 ∴f(x)min=f(e)=ae-1=3,∴a=(舍去); ②当0<<e时,f(x)在区间(0,)上单调递减,在(,e]上单调递增 ∴f(x)min=f()=1+lna=3,∴a=e3,满足条件; ③当≥e时,∵x∈(0,e],∴f′(x)<0,∴f(x)在区间(0,e]上单调递减 ∴f(x)min=f(e)=ae-1=3,∴a=(舍去), 综上所述,存在实数a=,使f(x)在区间(0,e]的最小值是3. |
举一反三
等比数列{an}的公比为-,前n项的和Sn满足Sn=,那么的值为( ) |
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的单调递减区间是(-1,3),且在x=1处的切线方程为:12x+y-13=0,求函数f(x)的解析式. |
函数f(x)=excosx的图象在点(0,f(0))处的切线方程的倾斜角为( ) |
曲线y=sinx+e2x在点(0,1)处的切线方程是( )A.x-3y+3=0 | B.x-2y+2=0 | C.2x-y+1=0 | D.3x-y+1=0 |
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