已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f′(x)-ax-5,其中f′(x)是的f(x)的导函数.(Ⅰ)对满足-1≤a≤1的一切a的值,都有g(x)<0,
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已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f′(x)-ax-5,其中f′(x)是的f(x)的导函数. (Ⅰ)对满足-1≤a≤1的一切a的值,都有g(x)<0,求实数x的取值范围; (Ⅱ)设a=-m2,当实数m在什么范围内变化时,函数y=f(x)的图象与直线y=3只有一个公共点. |
答案
(Ⅰ)由题意g(x)=3x2-ax+3a-5 令φ(x)=(3-x)a+3x2-5,-1≤a≤1 对-1≤a≤1,恒有g(x)<0,即φ(a)<0 ∴即 解得-<x<1 故x∈(-,1)时,对满足-1≤a≤1的一切a的值,都有g(x)<0 (Ⅱ)f′(x)=3x2-3m2 ①当m=0时,f(x)=x3-1的图象与直线y=3只有一个公共点 ②当m≠0时,f(x)极小=f(|x|)=-2m2|m|-1<-1 又∵f(x)的值域是R,且在(|m|,+∞)上单调递增 ∴当x>|m|时函数y=f(x)的图象与直线y=3只有一个公共点. 当x<|m|时,恒有f(x)≤f(-|m|) 由题意得f(-|m|)<3 即2m2|m|-1=2|m|3-1<3 解得m∈(-,0)∪(0,) 综上,m的取值范围是(-,) |
举一反三
为改善行人过马路难的问题,市政府决定在如图所示的矩形区域ABCD(AB=60米,AD=104米)内修建一座过街天桥,天桥的高GM与HN均为4米,∠GEM=∠HFN=,AE,EG,HF,FC的造价均为每米1万元,GH的造价为每米2万元,设MN与AB所成的角为α(α∈[0,]),天桥的总造价(由AE,EG,GH,HF,FC五段构成,GM与HN忽略不计)为W万元. (1)试用α表示GH的长; (2)求W关于α的函数关系式; (3)求W的最小值及相应的角α.
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函数y=3x-x3在(0,+∞)上( )A.有最大值2 | B.有最小值2 | C.有最小值-2 | D.有最大值-2 |
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已知函数f(x)=lnx-; (Ⅰ)若a>0,试判断f(x)在定义域内的单调性; (Ⅱ)若f(x)在[1,e]上的最小值为,求a的值; (Ⅲ)若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范围. |
已知函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x+b(a,b∈R). (1)若x=1为f(x)的极值点,求a的值. (2)若y=f(x)的图象在(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0,求f(x)在区间[-2,4]上的最大值. |
已知函数f(x)=x3-3x2-9x+1 (1)求函数在区间[-4,4]上的单调性. (2)求函数在区间[-4,4]上的极大值和极小值与最大值和最小值. |
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