已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.(1)若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合;(2)在函数f(x)的图象上取定点A(x1,f(x1)),B
题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0. (1)若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合; (2)在函数f(x)的图象上取定点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为K,证明:存在x0∈(x1,x2),使f′(x0)=K恒成立. |
答案
(1)f′(x)=ex-a, 令f′(x)=0,解可得x=lna; 当x<lna,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x>lna,f′(x)>0,f(x)单调递增, 故当x=lna时,f(x)取最小值,f(lna)=a-alna, 对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,当且仅当a-alna≥1,① 令g(t)=t-tlnt,则g′(t)=-lnt, 当0<t<1时,g′(t)>0,g(t)单调递增,当t>1时,g′(t)<0,g(t)单调递减, 故当t=1时,g(t)取得最大值,且g(1)=1, 因此当且仅当a=1时,①式成立, 综上所述,a的取值的集合为{1}. (2)根据题意,k==-a, 令φ(x)=f′(x)-k=ex-, 则φ(x1)=-[ex2-x1-(x2-x1)-1], φ(x2)=[ex1-x2-(x1-x2)-1], 令F(t)=et-t-1,则F′(t)=et-1, 当t<0时,F′(t)<0,F(t)单调递减;当t>0时,F′(t)>0,F(t)单调递增, 则F(t)的最小值为F(0)=0, 故当t≠0时,F(t)>F(0)=0,即et-t-1>0, 从而ex2-x1-(x2-x1)-1>0,且>0,则φ(x1)<0, ex1-x2-(x1-x2)-1>0,>0,则φ(x2)>0, 因为函数y=φ(x)在区间[x1,x2]上的图象是连续不断的一条曲线,所以存在x0∈(x1,x2),使φ(x0)=0, 即f′(x0)=K成立. |
举一反三
如图,由y=0,x=8,y=x2围成了曲边三角形OAB,M为曲线弧OB上一点, 设M点的横坐标为x0,过M作y=x2的切线PQ (1)求PQ所在直线的方程(用x0表示); (2)当PQ与OA,AB围成的三角形PQA面积最大时,求x0.
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已知函数f(x)=x2+lnx. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)求证:当x>1时,x2+lnx<x3. |
已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数). (1)当a=-4时,求函数f(x)在[1,e]上的最大值及相应的x值; (2)当x∈[1,e]时,讨论方程f(x)=0根的个数. (3)若a>0,且对任意的x1,x2∈[1,e],都有|f(x1)-f(x2)|≤|-|,求实数a的取值范围. |
已知某商品的进货单价为1元/件,商户甲往年以单价2元/件销售该商品时,年销量为1万件,今年拟下调销售单价以提高销量,增加收益.据测算,若今年的实际销售单价为x元/件(1≤x≤2),今年新增的年销量(单位:万件)与(2-x)2成正比,比例系数为4. (1)写出今年商户甲的收益y(单位:万元)与今年的实际销售单价x间的函数关系式; (2)商户甲今年采取降低单价,提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)?说明理由. |
设函数f(x)=-2ax+3lnx.(0<a<3) (1)当a=2时,求函数f(x)=-2ax+3lnx的单调区间. (2)当x∈[1,+∞)时,若f(x)≥-5xlnx+3lnx-恒成立,求a的取值范围. |
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