(1)f"(x)=﹣3x2+2ax, 由题意得,解得a=2, 经检验满足条件. (2)由(1)知f(x)=﹣x3+2x2﹣4,f"(x)=﹣3x2+4x, 令f"(x)=0,则x1=0,(舍去). f"(x),f(x)的变化情况如下表:
∴f(x)在(﹣1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增, ∴f(x)极小值=f(0)=﹣4, 如图构造f(x)在[﹣1,1]上的图象.
又关于x的方程f(x)=m在[﹣1,1]上恰有两个不同的实数根, 则﹣4<m≦3,即m的取值范围是(﹣4,﹣3]. (3)解法一:因存在x0∈(0,+∞),使得不等式f(x0)>0成立, 故只需要f(x)的最大值f(x)max>0即可, ∴f(x)=﹣x3+ax2﹣4, ∴. ①若a≦0,则当x>0时,f"(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)单调递减. ∵f(0)=﹣4<0,∴当x>0时,f(x)<﹣4<0, ∴当a≦0时,不存在x0∈(0,+∞),使得不等式f(x0)>0成立. ②当a>0时f(x),f"(x)随x的变化情况如下表:
∴当x∈(0,+∞)时,, 由得a>3. 综上得a>3,即a的取值范围是(3,+∞). 解法二:根据题意,只需要不等式f(x)>0在(0,+∞)上有解即可, 即﹣x3+ax2﹣4>0在(0,+∞)上有解. 即不等式在(0,+∞)上有解即可. 令,只需要a>g(x)min 而, 当且仅当,即x=2时“=”成立. 故a>3,即a的取值范围是(3,+∞)。 |