如图，为空间四点．在中，．等边三角形以为轴运动．（Ⅰ）当平面平面时，求；（Ⅱ）当转动时，是否总有？证明你的结论．

题型：不详难度：来源：

如图，为空间四点．在中，．等
边三角形以为轴运动．
（Ⅰ）当平面平面时，求；
（Ⅱ）当转动时，是否总有？证明你的结论．

答案

解：
（Ⅰ）取的中点，连结，

因为是等边三角形，所以．
当平面平面时，
因为平面平面，
所以平面，
可知
由已知可得，
在中，．
（Ⅱ）当以为轴转动时，总有．
证明：
（ⅰ）当在平面内时，因为，
所以都在线段的垂直平分线上，即．
（ⅱ）当不在平面内时，由（Ⅰ）知．
又因，所以．
又为相交直线，
所以平面，
由平面，得．
综上所述，总有．

解析

略