方法一:(Ⅰ)取BC的中点N,连结MN. 由已知,PMCN,则MNPC,所以MN⊥平面ABC. 过点N作NH⊥AC,交AC的延长线于H,连结MH, 由三垂线定理知,AC⊥MH. 所以∠MHN为二面角M-AC-B的平面角. 连结AN,在△ACN中,由余弦定理,得. 由已知∠AMN=60°,在Rt△ANM中,. 在Rt△CHN中,. 在Rt△MNH中,. 故二面角M-AC-B的正切值是. (Ⅱ)因为四边形PCNM为正方形,MN⊥平面ABC,则 . 方法二:(Ⅰ)在平面ABC内,过点C作CB的垂线, 按如图所示建立空间直角坐标系. 设点,由已知可得,点, ,则. 因为直线AM与直线PC所成的角为60°,则 ,即. 解得z0=1,从而. 设平面MAC的一个法向量为n,则,即. 取,则n. 又m=(0,0,1)为平面ABC的一个法向量,设向量m与n的夹角为θ,则. 从而,. 显然,二面角M-AC-B的平面角为锐角,故二面角M-AC-B的正切值是. (Ⅱ)因为a=(1,0,0)为平面PCM的一个法向量,,则 点A到平面PCM的距离. 又PC=PM=1,则. |