如图,在长方体中,,且.(I)求证:对任意,总有;(II)若,求二面角的余弦值;(III)是否存在,使得在平面上的射影平分?若存在, 求出的值, 若不存在,说明
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如图,在长方体中,,且.(I)求证:对任意,总有;(II)若,求二面角的余弦值;(III)是否存在,使得在平面上的射影平分?若存在, 求出的值, 若不存在,说明
题型:不详
难度:
来源:
如图,在长方体
中,
,且
.
(I)求证:对任意
,总有
;
(II)若
,求二面角
的余弦值;
(III)是否存在
,使得
在平面
上的射影平分
?若存在, 求出
的值, 若不存在,说明理由.
答案
(I)见解析(II)
(III)存在
解析
试题分析:(I)以
为坐标原点,分别以
所在直线为
轴,
轴,
轴,建立空间直角坐标系,设
,则
,
,从而
,
,即
. ……4分
(II)由(I)及
得,
,
设平面
的法向量为
,则
,
从而可取平面
的法向量为
,
又取平面
的法向量为
,且设二面角
为
,
所以
……8分
(III) 假设存在实数
满足条件,由题结合图形,只需满足
分别与
所成的角相等,
即
,即
,
解得
.
所以存在满足题意得实数
,
使得
在平面
上的射影平分
. ……12分
点评:立体几何问题可以转化为用空间向量来解决,可以省去作二面角、线面角等步骤之间求解,但是求解时一定要注意运算的准确性.
举一反三
如图,直四棱柱
中,底面
是直角梯形,
,
,
.
(1)求证:
是二面角
的平面角;
(2)在
上是否存一点
,使得
与平面
与平面
都平行?证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分14分)如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于
三点处,
,
到线段
的距离
,
(参考数据:
). 今计划建一个生活垃圾中转站
,为方便运输,
准备建在线段
(不含端点)上.
(1)设
,试将
到三个小区距离的最远者
表示为
的函数,并求
的最小值;
(2)设
,试将
到三个小区的距离之和
表示为
的函数,并确定当
取何值时,可使
最小?
题型:不详
难度:
|
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在直角三角形
中,
是
边上的高,
,
,
分别为垂足,求证:
.
题型:不详
难度:
|
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如图,E、F分别是正方形
的边
的中点,沿SE、SF、EF将它折成一个几何体,使
重合,记作D,给出下列位置关系:①SD
面EFD ; ②SE
面EFD;③DF
SE;④EF
面SE其中成立的有( )
A.①与②
B.①与③
C.②与③
D.③与④
题型:不详
难度:
|
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三棱锥的三条侧棱两两垂直,其长分别是1、
、
,则此三棱锥的外接球的表面积是( )
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B.5π
C.4π
D.9π
题型:不详
难度:
|
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