如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=CC1,M,N分别为A1B,B1C1的中点.(1)求证:MN∥平面ACC1A1;(2)求证:MN⊥平面
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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=CC1,M,N分别为A1B,B1C1的中点. (1)求证:MN∥平面ACC1A1; (2)求证:MN⊥平面A1BC. |
答案
证明:(1)连接AB1,则点M是AB1的中点,又点N是B1C1的中点, 则MN是△AB1C1的中位线,所以MN∥AC1, 根据线面平行的判定得: MN∥平面ACC1A1; (2)由BC⊥AC,BC⊥CC11,则BC⊥平面ACC1A1, 连接AC1,则BC⊥AC1. ∵侧面ACC1A1是正方形,所以A1C⊥AC1. 又BC∩A1C=C,根据线面垂直的判定定理可知AC1⊥平面A1BC, 又因为MN∥AC1, 根据线面垂直的性质定理得: MN⊥平面A1BC; |
举一反三
如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=AD. (1)求证:平面PAC⊥面PCD; (2)在棱PD上找一点E,使CE∥面PAB,并说明理由; (3)在(2)的前提下,求二面角E-AC-D的大小. |
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面为直角梯形,∠BAD=90°,BC∥AD,且PA=AB=BC=1,AD=2. (Ⅰ)设M为PD的中点,求证:CM∥平面PAB; (Ⅱ)求侧面PAB与侧面PCD所成二面角的平面角的正切值. |
如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等,D、E分别是CC1和AB1的中点,点F在BC上且满足BF:FC=1:3. (1)若M为AB中点,求证:BB1∥平面EFM; (2)求证:EF⊥BC; (3)求二面角A1-B1D-C1的大小. |
设α、β表示平面,l表示不在α内也不在β内的直线,给出下列命题: ①若l⊥α,l∥β,则α⊥β; ②若l∥β,α⊥β,则l⊥α; ③若l⊥α,α⊥β,则l∥β. 其中正确的命题是( ) |
如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD是平行四边形,M、N分别是AB、PC的中点. 求证:MN∥平面PAD. |
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