证明:(I)连结AB1交A1B于E,连ED. ∵ABC-A1B1C1是三棱柱中,且AB=BB1, ∴侧面ABB1A是一正方形. ∴E是AB1的中点,又已知D为AC的中点. ∴在△AB1C中,ED是中位线. ∴B1C∥ED. 又∵B1C⊄平面A1BD,ED⊂平面A1BD ∴B1C∥平面A1BD.…(4分) (II)∵AC1⊥平面ABD,A1B⊂平面ABD, ∴AC1⊥A1B, 又∵侧面ABB1A是一正方形, ∴A1B⊥AB1. 又∵AC1∩AB1=A,AC1,AB1⊂平面AB1C1. ∴A1B⊥平面AB1C1. 又∵B1C1⊂平面AB1C1. ∴A1B⊥B1C1. 又∵ABC-A1B1C1是直三棱柱, ∴BB1⊥B1C1. 又∵A1B∩BB1=B,A1B,BB1⊂平面ABB1A1. ∴B1C1⊥平面ABB1A1.…(8分) (III)∵AB=BC,D为AC的中点, ∴BD⊥AC. ∴BD⊥平面DC1A1. ∴BD就是三棱锥B-A1C1D的高. 由(II)知B1C1⊥平面ABB1A1,∴BC⊥平面ABB1A1. ∴BC⊥AB.∴△ABC是直角等腰三角形. 又∵AB=BC=1 ∴BD= ∴AC=A1C1= ∴三棱锥B-A1C1D的体积 V=•BD•S△A1C1D=•••A1C1•AA1=K=…(12分) |