在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：OB1⊥平面PAC．

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在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为DD₁的中点，O为底面ABCD的中心，求证：OB₁⊥平面PAC．

答案

证明：如图所示，建立空间直角坐标系，
魔方格

不妨设正方体的棱长为2．
则A（2，0，0），P（0，0，1），C（0，2，0），O（1，1，0），B₁（2，2，2）．
∴

OB1

=(1，1，2)，

=(-2，2，0)，

=(-2，0，1)．
∵

OB1

•

=-2+2+0=0，

OB1

•

=-2+0+2=0，
∴

OB1

⊥

，

OB1

⊥

，
∴OB₁⊥AC，OB₁⊥AP，
又AP∩AC=A，∴OB₁⊥平面PAC．

举一反三

如图所示，矩形ABCD的边AB=a，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=2，现有数据：a=

；a=1；a=2；a=

；a=4．若在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD，则a可以取所给数据中的哪些值？并说明理由．魔方格

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在正方体AC₁中，已知E、F、G、H分别是CC₁、BC、CD和A₁C₁的中点．证明：
（1）AB₁∥GE，AB₁⊥EH；
（2）A₁G⊥平面EFD．

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如果一条直线垂直于一个平面内的①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边，则能保证该直线与平面垂直的是（　　）

A．①③

B．②

C．②④

D．①②④

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如图，PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点A作AE⊥PC，垂足为E．求证：AE⊥平面PBC．魔方格

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在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（　　）

A．

B．

C．

D．

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