试题分析:(1)本小题证明的是线线垂直,把问题转化为证明线面垂直(线面垂直 线线垂直),即证 平面 ,从而有 ;(2)本小题可从传统几何方法及空间向量方法入手,法一:先证 , 为等边三角形,取 的中点 ,连结 , ,可证得 为二面角 的平面角,在三角形FMP中用余弦定理的推论完成求值;法二:利用空间向量解决面面角问题,只需找到这两个面的法向量 ,利用公式 完成计算即可,但要注意本题面面角为钝二面角. 试题解析:(1)证明:连结 ,因 , 是 的中点,故 .又因平面 平面 ,故 平面 ,于是 .又 ,所以 平面 ,所以 ,又因 ,故 平面 ,所以 .
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022004645-40229.jpg) (2)解法一:由(1),得 .不妨设 , .因 为直线 与平面 所成的角,故 ,所以 , 为等边三角形.设 ,则 , 分别为 , 的中点, 也是等边三角形.取 的中点 ,连结 , ,则 , ,所以 为二面角 的平面角.在 中, , ,故 ,即二面角 的余弦值为 . 解法二:取 的中点 ,以 为原点, , , 所在的直线分别为 , , 轴建立空间直角坐标系 .不妨设 , ,则 , , , ,从而 , .
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022004652-43758.png) 设平面 的法向量为 ,由 ,得 ,可取 .同理,可取平面 的一个法向量为 .于是 ,易见二面角 的平面角与 互补,所以二面角 的余弦值为 . 线线垂直),求二面角的余弦值(可用寻找其二面角的平面角,也可用空间向量知识完成). |