已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F分别是棱B1C1和C1D1的中点，试求：(1)AD1与EF所成角的大小；    (2)AF与平面BEB1所成角的

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已知单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E、F分别是棱B₁C₁和C₁D₁的中点，试求：(1)AD₁与EF所成角的大小；    
(2)AF与平面BEB₁所成角的余弦值；   
(3)二面角C₁-DB-B₁的正切值．

答案

解法一：(1)如图，连结B₁D₁，
∵E、F分别是B₁C₁和C₁D₁的中点，
∴EF∥B₁D₁，
则AD₁与EF所成的角等于AD₁与B₁D₁所成的角，∠AD₁B₁即为所求，
由正方体的性质得△AD₁B₁为等边三角形，
∴∠AD₁B₁=60°，
故AD₁与EF所成角的大小为60°．    
(2)∵平面AA₁D₁D∥平面BEB₁，
∴AF与平面BEB₁所成的角等于AF与平面AA₁D₁D所成的角，
又AF与平面AA₁D₁D所成的角为∠FAD₁，
在△FAD₁中，AD₁=，FD₁=，FA=,
∴ cos∠FAD₁=    
(3)取B1D₁中点O，BD中点P，连结C₁O，C₁P，OP，则OP⊥BD，C₁P⊥BD，
∴∠C₁PO为二面角C₁-DB-B₁的平面角．
在Rt△OPC₁中，C₁O=，OP =1，
:. tan ∠C₁PO =