如图,四棱锥的底面是正方形,⊥底面,点在棱上.(1)求证:平面⊥平面;(2)当且为的中点时,求与平面所成角的正弦值.
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如图,四棱锥的底面是正方形,⊥底面,点在棱上.(1)求证:平面⊥平面;(2)当且为的中点时,求与平面所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
来源:
如图,四棱锥
的底面是正方形,
⊥底面
,点
在棱
上.
(1)求证:平面
⊥平面
;
(2)当
且
为
的中点时,求
与平面
所成角的正弦值.
答案
(Ⅰ)利用线面垂直证明面面垂直;(Ⅱ)
.
解析
试题分析:(Ⅰ)∵四边形
ABCD
是正方形,∴
AC
⊥
BD
,
∵
PD
⊥底面
ABCD
,∴
PD
⊥
AC
,∴
AC
⊥平面
PDB
,
又
,∴平面
AEC
⊥平面
PDB
. (6分)
(Ⅱ)方法一:如图1,设
AC
∩
BD
=
O
,连接
OE
,
由(Ⅰ)知
AC
⊥平面
PDB
于
O
,∴∠
AEO
为
AE
与平面
PDB
所成的角,
∵O,E分别为DB、PB的中点,∴OE∥PD,且OE=
PD,
又∵PD⊥底面ABCD, ∴OE⊥底面ABCD,OE⊥AO,
在Rt△AOE中,由PD=
AB,
设
,则
,
,∴
,于是
,
即AE与平面PDB所成角的正弦值为
. (12分)
方法二:如图2,以
D
为原点建立空间直角坐标系
D
−
xyz
,
设
,
AE
与平面
PDB
所成的角为
,
则
,
,
,
,
于是
,所以
,
且平面
的法向量
,所以
,
即
AE
与平面
PDB
所成角的正弦值为
. (12分)
点评:直线和平面成角的重点是研究斜线和平面成角,常规求解是采用“作、证、算”,但角不易作出时,可利用构成三条线段的本质特征求解,即分别求斜线段、射影线段、点A到平面的距离求之.
举一反三
如图正四棱锥
的底面边长为
,高
,点
在高
上,且
,记过点
的球的半径为
,则函数
的大致图像是( )
题型:不详
难度:
|
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(理科)如图分别是正三棱台ABC-A
1
B
1
C
1
的直观图和正视图,O,O
1
分别是上下底面的中心,E是BC中点.
(1)求正三棱台ABC-A
1
B
1
C
1
的体积;
(2)求平面EA
1
B
1
与平面A
1
B
1
C
1
的夹角的余弦;
(3) 若P是棱A
1
C
1
上一点,求CP+PB
1
的最小值.
题型:不详
难度:
|
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如图,在四边形
中,
,
,点
为线段
上的一点.现将
沿线段
翻折到
(点
与点
重合),使得平面
平面
,连接
,
.
(Ⅰ)证明:
平面
;
(Ⅱ)若
,且点
为线段
的中点,求二面角
的大小.
题型:不详
难度:
|
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已知平面
,直线
,直线
,有下面四个命题:
(1)
∥
(2)
∥
(3)
∥
(4)
∥
其中正确的是( )
A.(1)与(2)
B.(3)与(4)
C.(1)与(3)
D.(2)与(4)
题型:不详
难度:
|
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如图所示,空间四边形ABCD中,AB=CD,AB⊥CD,E、F分别为BC、AD的中点,则EF和AB所成的角为
题型:不详
难度:
|
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