正方形ABCD中,E为AB中点,F为BC中点,将△AED、△BEF及△DCF分别沿DE、EF、DF折起,使A、B、C点重合于P点.(1)求证:PD⊥EF;(2)

正方形ABCD中,E为AB中点,F为BC中点,将△AED、△BEF及△DCF分别沿DE、EF、DF折起,使A、B、C点重合于P点.(1)求证:PD⊥EF;(2)

题型:不详难度:来源:
正方形ABCD中,E为AB中点,F为BC中点,将△AED、△BEF及△DCF分别沿DE、EF、DF折起,使A、B、C点重合于P点.
(1)求证:PD⊥EF;
(2)求PD与平面DEF所成角的余弦值的大小.

魔方格
答案
证明:(1)∵DP⊥PF,DP⊥PE
∴DP⊥平面PEF
∴PD⊥EF 
(2)取EF中点G,连DG,作PH⊥DG于H
∵E、F为中点
∴△ADE≌△CDF,故DE=DF,从而DG⊥EF
同理:EF⊥PG
又PG∩DG=G
∴EF⊥平面PDG,故EF⊥PH,从而PH⊥平面DEF
∴PD与平面DEF所成角为∠PDG
设正方形ABCD边长为2,则
PD=2,DE=DF=


5
,EF=


2
,DG=
3


2

在Rt△PDG中,cos∠PDG=
PD
DG
=
2
3


2
=
2


2
3
举一反三
如图,已知AB⊥平面ACD,DEAB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB.
(1)设M是线段CD的中点,求证:AM平面BCE;
(2)求直线CB与平面ABED所成角的余弦值.魔方格
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如图,△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面,∠BCD=90°,PA⊥平面ABC,DC=BC=2PA,E,F分别为DB,CB的中点,
(1)证明PE平面ABC;
(2)证明AE⊥BC;
(3)求直线PF与平面BCD所成的角的大小.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
已知△ABC与△DBC都是边长为
2


3
3
的等边三角形,且平面ABC⊥平面DBC,过点A作PA⊥平面ABC,且AP=2.
(Ⅰ)求证:PA平面DBC;
(Ⅱ)求直线PD与平面ABC所成角的大小.魔方格
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正四棱锥的高与底面边长都是1,侧棱与底面所成的角是arctgx,则x=______.
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若平面α外的直线a与平面α所成的角为θ,则θ的取值范围是(  )
A.( 0 , 
π
2
 )
B.[ 0 , 
π
2
 )
C.[0,π]D.[ 0 , 
π
2
 ]
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