正方形ABCD中，E为AB中点，F为BC中点，将△AED、△BEF及△DCF分别沿DE、EF、DF折起，使A、B、C点重合于P点．（1）求证：PD⊥EF；（2）

题型：不详难度：来源：

正方形ABCD中，E为AB中点，F为BC中点，将△AED、△BEF及△DCF分别沿DE、EF、DF折起，使A、B、C点重合于P点．
（1）求证：PD⊥EF；
（2）求PD与平面DEF所成角的余弦值的大小．

答案

证明：（1）∵DP⊥PF，DP⊥PE
∴DP⊥平面PEF
∴PD⊥EF 
（2）取EF中点G，连DG，作PH⊥DG于H
∵E、F为中点
∴△ADE≌△CDF，故DE=DF，从而DG⊥EF
同理：EF⊥PG
又PG∩DG=G
∴EF⊥平面PDG，故EF⊥PH，从而PH⊥平面DEF
∴PD与平面DEF所成角为∠PDG
设正方形ABCD边长为2，则
PD=2，DE=DF=

5

，EF=

2

，DG=

3

2

在Rt△PDG中，cos∠PDG=

PD

DG

=

2

3 2

=

2 2

3