已知圆O:x2+y2=49,直线l:y=kx+m与椭圆C:x22+y2=1相交于P、Q两点,O为原点.(Ⅰ)若直线l过椭圆C的左焦点,且与圆O交于A、B两点,且
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已知圆O:x2+y2=49,直线l:y=kx+m与椭圆C:x22+y2=1相交于P、Q两点,O为原点.(Ⅰ)若直线l过椭圆C的左焦点,且与圆O交于A、B两点,且
题型:不详
难度:
来源:
已知圆O:
x
2
+
y
2
=
4
9
,直线l:y=kx+m与椭圆C:
x
2
2
+
y
2
=1
相交于P、Q两点,O为原点.
(Ⅰ)若直线l过椭圆C的左焦点,且与圆O交于A、B两点,且∠AOB=60°,求直线l的方程;
(Ⅱ)如图,若△POQ重心恰好在圆上,求m的取值范围.
答案
(Ⅰ)左焦点坐标为F(-1,0),设直线l的方程为y=k(x+1),由∠AOB=60°得,圆心O到直线l的距离d=
1
3
,
又d=
|k|
k
2
+1
,
∴
|k|
k
2
+1
=
1
3
,解得k=±
2
2
.
∴直线l的方程为y=±
2
2
(x+1).
(Ⅱ)设P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),由
x
2
2
+y
2
=1
y=kx+m
得:(1+2k
2
)x
2
+4kmx+2m
2
-2=0.
由△>0得:1+2k
2
>m
2
…(⊕),且x
1
+x
2
=-
4km
1+
2k
2
.
∵△POQ重心恰好在圆x
2
+y
2
=
4
9
上,
∴
(x
1
+x
2
)
2
+
(y
1
+y
2
)
2
=4,
即
(x
1
+x
2
)
2
+
[k
(x
1
+x
2
)+2m]
2
=4,即(1+k
2
)
(x
1
+x
2
)
2
+4km(x
1
+x
2
)+4m
2
=4.
∴
16(1
+k
2
)k
2
m
2
(1+
2k
2
)
2
-
1
6k
2
m
2
1+
2k
2
+4m
2
=4,化简得:m
2
=
(1+
2k
2
)
2
4k
2
+1
,代入(⊕)式得:k≠0,
又m
2
=
(1+
2k
2
)
2
4k
2
+1
=1+
4k
4
4k
2
+1
=1+
4
4
k
2
+
1
k
4
.
∵k≠0,
∴m
2
>1,
∴m>1或m<-1.
举一反三
已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,2),B(1,3),C(2,5),l为BC边上的高所在直线.
(1)求直线l的方程;
(2)直线l与椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
相交于D、E两点,△CDE是以C(2,5)为直角顶点的等腰直角三角形,求该椭圆的方程.
题型:不详
难度:
|
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过点A(3,-2),且与两轴围成的三角形面积为10,则这样的直线有______条.
题型:不详
难度:
|
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已知直线l
1
经过A(1,1)和B(3,2),直线l
2
方程为2x-4y-3=0.
(1)求直线l
1
的方程;
(2)判断直线l
1
与l
2
的位置关系,并说明理由.
题型:不详
难度:
|
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若直线l
1
:ax+3y+1=0与l
2
:2x+(a+1)y+1=0互相平行,则a的值为______.
题型:不详
难度:
|
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过点A(-1,2)作直线,若直线在两条坐标轴上的截距相等,则满足条件的直线有( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
题型:不详
难度:
|
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