试题分析:(1)用两点的距离公式求出圆的半径,就可写出圆的标准方程;(2)法一:由圆的弦长可求得圆心到直线的距离,再用点斜式设出所求直线的方程,应用待定系数法:由点到直线的距离公式,就可求出所求直线的斜率,从而就可求得所求的直线方程,只是一定要注意:斜率不存在情形的讨论;法二:设出直线的斜率,写出直线方程,与圆方程联立,消去y得到关于x的一元二次方程,应用韦达定理及弦长公式,就可用斜率的代数式将弦长表示出来,从而获得关于斜率的方程解之即得;一样也需考虑斜率不存在情形;(3)法一:假设所求直线存在,先用斜截式设出其方程,并用m的式子表示出弦EF的中点坐标,再画出图形,由以弦EF为直径的圆经过原点知,再作勾股定理即可获得关于m的方程,解此方程,有解则存在,并可写出对应直线方程,无解则不存在;法二:将直线方程与圆方程联立,消元,再用韦达定理,将条件应用向量知识转化为,然后将韦达定理的结论代入即可获得关于m的方程,解此方程,有解则存在,并可写出对应直线方程,无解则不存在. 试题解析:(1)圆的半径为, 1分 ∴圆的标准方程为. 3分 (2)方法一 如图所示,设直线与圆交于两点,且是的中点,则, 且,
∵圆的半径为4,即 ∴在中,可得,即点到直线的距离为2. 4分 (i)当所求直线的斜率存在时,设所求直线的方程为,即. 5分 由点到直线的距离公式得:=2,解得. ∴此时直线的方程为. 7分 (ii)当直线的斜率不存在时,直线的方程为. 将代入得,, ∴,, ∴方程为的直线也满足题意. ∴所求直线的方程为或. 8分 方法二:当所求直线的斜率存在时,设所求直线的方程为,即.---4分 联立直线与圆的方程:, 5分 消去得 ① 设方程①的两根为, 由根与系数的关系得 ② 由弦长公式得|x1-x2|==4 ③ 将②式代入③,并解得, 此时直线的方程为. 7分 当直线的斜率不存在时,直线的方程为, 仿方法一验算得方程为的直线也满足题意. ∴所求直线的方程为或. 8分 (3)方法一:假设存在直线满足题设条件,设的方程为, 则的中点是两直线与的交点,即, 10分 ∴. ∵以为直径的圆经过原点, ∴, ∴, 12分 又∵,, ∴,化简得, ∵方程没有实数解, ∴不存在满足题设条件的直线. 14分 方法二: 假设存在直线满足题设条件,并设的方程为,点,点, 联立直线与圆的方程, 9分 消去得 由根与系数的关系得 ④ 11分 ∵以为直径的圆经过原点, ∴. 若、中有一点在轴上,则另一点必在轴上,而在圆的方程中令可得无实数解,故本情况不会出现. --------12分 ∴即, ∴, 化简得: , 13分 以④代入并化简得 ∵方程没有实数解, ∴不存在满足题设条件的直线. 14分 |