已知O为平面直角坐标系的原点,过点M(-2,0)的直线l与圆x2+y2=1交于P,Q两点.(I)若OP•OQ=-12,求直线l的方程;(Ⅱ)若△OMP与△OPQ
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已知O为平面直角坐标系的原点,过点M(-2,0)的直线l与圆x2+y2=1交于P,Q两点.(I)若OP•OQ=-12,求直线l的方程;(Ⅱ)若△OMP与△OPQ
题型:不详
难度:
来源:
已知O为平面直角坐标系的原点,过点M(-2,0)的直线l与圆x
2
+y
2
=1交于P,Q两点.
(I)若
OP
•
OQ
=-
1
2
,求直线l的方程;
(Ⅱ)若△OMP与△OPQ的面积相等,求直线l的斜率.
答案
(Ⅰ)依题意,直线l的斜率存在,因为直线l过点M(-2,0),可设直线l:y=k(x+2).
因为P、Q两点在圆x
2
+y
2
=1上,所以,
|
OP
|=|
OQ
|=1
,
因为
OP
•
OQ
=-
1
2
,所以,
OP
•
OQ
=|
OP
|•|
OQ
|•cos∠POQ=-
1
2
所以,∠POQ=120°,所以,O到直线l的距离等于
1
2
. 所以,
|2k|
k
2
+1
=
1
2
,得
k=±
15
15
,
所以直线l的方程为
x-
15
y + 2=0
,或
x+
15
y+2=0
.
(Ⅱ)因为△OMP与△OPQ的面积相等,所以,
MQ
=2
MP
,
设P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),所以,
MQ
=(
x
2
+2,
y
2
)
,
MP
=(
x
1
+2,
y
1
)
.
所以,
x
2
+2=2(
x
1
+2)
y
2
=2
y
1
,即
x
2
=2(
x
1
+1)
y
2
=2
y
1
(*); 因为,P,Q两点在圆上,
所以,
x
1
2
+
y
1
2
=1
x
2
2
+
y
2
2
=1
把(*)代入,得
x
1
2
+
y
1
2
=1
4(
x
1
+1
)
2
+4
y
1
2
=1
,所以,
x
1
=-
7
8
y
1
=±
15
8
,
所以,直线l的斜率
k=
k
MP
=±
15
9
,即
k=±
15
9
.
举一反三
若点P(1,1)为圆x
2
+y
2
-6x=0的弦MN的中点,则弦MN所在直线方程为______.
题型:奉贤区二模
难度:
|
查看答案
在极坐标系中,直线
ρsin(θ-
π
4
)=
2
2
与圆ρ=2cosθ
的位置关系是______.
题型:奉贤区二模
难度:
|
查看答案
圆x
2
+y
2
-ax+2=0与直线l相切于点A(3,1),则直线l的方程为( )
A.2x-y-5=0
B.x-2y-1=0
C.x-y-2=0
D.x+y-4=0
题型:房山区二模
难度:
|
查看答案
与圆C:x
2
+y
2
-2x-2y+1=0相切的直线与x轴,y轴的正半轴交于A、B且|oA|>2,|OB|>2,则三角形AOB面积的最小值为 ______.
题型:济南二模
难度:
|
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已知曲线
C
1
:
x=1+cosθ
y=sinθ
(θ为参数),曲线
C
2
:
x=2+t
y=-t
(t为参数),则C
1
与C
2
( )
A.没有公共点
B.有一个公共点
C.有两个公共点
D.有两个以上的公共点
题型:朝阳区二模
难度:
|
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