已知椭C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1,F2,P是椭圆上任意一点,若以坐标原点为圆心,椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点,且△PF1F2的周
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已知椭C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1,F2,P是椭圆上任意一点,若以坐标原点为圆心,椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点,且△PF1F2的周
题型:不详
难度:
来源:
已知椭C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的焦点为F
1
,F
2
,P是椭圆上任意一点,若以坐标原点为圆心,椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点,且△PF
1
F
2
的周长为4
+2
2
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线的l是圆O:x
2
+y
2
=
4
3
上动点P(x
0
,y
0
)(x
0
-y
0
≠0)处的切线,l与椭圆C交于不同的两点Q,R,证明:∠QOR的大小为定值.
答案
(Ⅰ)因为以坐标原点为圆心,椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点,所以b=c,可得a=
2
c,
又因为△PF
1
F
2
的周长为4
+2
2
,所以a+c=
2+
2
,所以c=
2
,
所以a=2,b=
2
,所以所求椭圆C的方程为
x
2
4
+
y
2
2
=1
. …(5分)
(Ⅱ)证明:直线的l方程为
x
0
x+
y
0
y=
4
3
,且x
0
2
+y
0
2
=
4
3
,记Q(x
1
,y
1
),R(x
2
,y
2
),
联立方程
x
2
4
+
y
2
2
=1
x
0
x+
y
0
y=
4
3
,消去y得(
y
20
+2
x
20
)x
2
-
16
3
x
0
x+
32
9
-4
y
20
=0,
∴x
1
+x
2
=
16
3
x
0
y
20
+2
x
20
,x
1
x
2
=
32
9
-4
y
20
y
20
+2
x
20
,…(8分)
∴
y
1
y
2
=
1
y
20
(
4
3
-
x
0
x
1
)(
4
3
-
x
0
x
2
)
=
16
9
-4
x
20
y
20
+2
x
20
,…(10分)
∴x
1
x
2
+y
1
y
2
=
32
9
-4
y
20
y
20
+2
x
20
+
16
9
-4
x
20
y
20
+2
x
20
=0
∴∠QOR=90°为定值. …(13分)
举一反三
椭圆
x
2
2
+
y
2
=1
上任意一点与右焦点连线段中点的轨迹方程______.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形,短轴长为2.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线l过
P(-
1
2
,
1
2
)
且与椭圆相交于A,B两点,当P是AB的中点时,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知与向量
e
=(1,
3
)平行的直线l
1
过点A(0,-2
3
),椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的中心关于直线l
1
的对称点在直线x=
a
2
c
(c
2
=a
2
-b
2
)上,且直线l
1
过椭圆C的焦点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点B(-2,0)的直线l
2
交椭圆C于M,N两点,若∠MON≠
π
2
,且(
OM
•
ON
)•sin∠MON=
4
6
3
,(O为坐标原点),求直线l
12
的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的左顶点和右焦点分别为A,F,右准线为直线m,圆D:x
2
+y
2
-6y-4=0.
(1)若点A在圆D上,且椭圆C的离心率为
3
2
,求椭圆C的方程;
(2)若直线m上存在点Q,使△AFQ为等腰三角形,求椭圆C的离心率的取值范围;
(3)若点P在(1)中的椭圆C上,且过点P可作圆D的两条切线,切点分别为M、N,求弦长MN的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C的中心在原点,一个焦点F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是
2:
3
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点.当
|
MP
|
最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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