如图，已知是长轴为的椭圆上三点，点是长轴的一个顶点，过椭圆中心，且.(1)建立适当的坐标系，求椭圆方程；(2)如果椭圆上两点使直线与轴围成底边在轴上的等腰三角形

题型：不详难度：来源：

如图，已知是长轴为的椭圆上三点，点是长轴的一个顶点，过椭圆中心，且.

(1)建立适当的坐标系，求椭圆方程；
(2)如果椭圆上两点使直线与轴围成底边在轴上的等腰三角形，是否总存在实数使?请给出证明．

答案

(1)(2) 存在实数使证明：设直线的方程为，所以直线的方程为由椭圆方程与直线的方程联立，消去得
，所以同理
又，所以，所以，即存在实数使成立

解析

试题分析：(1)以为原点，所在的直线为轴建立如图所示的直角坐标系，则，椭圆方程可设为

而为椭圆中心，由对称性知
又，所以
又，所以
所以为等腰直角三角形，所以点的坐标为
将 代入椭圆方程得   则椭圆方程为
(2)由直线与轴围成底边在轴上的等腰三角形，设直线的斜率为，
则直线的斜率为，直线的方程为，
直线的方程为
由椭圆方程与直线的方程联立，消去得
     ①
因为在椭圆上，所以是方程①的一个根，于是
  同理
这样，
又，所以
即.所以，即存在实数使.
点评：本题对于高二文科学生有一定的难度，可区分出优秀学生与一般学生