如图,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在轴上,长轴长是短轴长的2倍,且经过点M. 平行于OM的直线在轴上的截距为并交椭圆C于A、B两个不同点.(1)求椭圆C的标准
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如图,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在轴上,长轴长是短轴长的2倍,且经过点M. 平行于OM的直线在轴上的截距为并交椭圆C于A、B两个不同点.(1)求椭圆C的标准
题型:不详
难度:
来源:
如图,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在
轴上,长轴长是短轴
长的2倍,且经过点M
. 平行于OM的直线
在
轴上的截距为
并交椭
圆C于A、B两个不同点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求m的取值范围;
(3)求证:直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
答案
(1)
(2)
(3)见解析
解析
本试题主要是考查了椭圆方程的求解以及直线与椭圆的位置关系的总额和运用。
(1)设椭圆C的标准方程为
(
>
>0)
由题意
,结合性质得到参数a,b的值
(2)
设
:
由
联立方程组,然后根据判别式大于零得到m的范围。
(3)设
,则
、
为(
)式的两根,
设MA交
轴于点P,MB交
轴于点Q
MA的方程为:
令
,可得P(
)=
同理得到点Q的坐标,然后结合中点公式,得到并证明。
解:(1)设椭圆C的标准方程为
(
>
>0)
由题意
解得
C的方程为
………………4分
(2)
设
:
由
消去
得
直线
与椭圆有两个不同的交点
式有两个不等实根
则
>0
解得
<
<2 又
的取值范围为
………………8分
(3)设
,则
、
为(
)式的两根,
设MA交
轴于点P,MB交
轴于点Q
MA的方程为:
令
,可得P(
)=
同理可得Q
设PQ的中点为N,则
由②知
又
MPQ的中线MN
PQ
MPQ为等腰三角形 ………………12分
注:其他正确解法请按步骤酌情给分。
举一反三
(本小题满分12分)已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线
的焦点,离心率是
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点C(—1,0),斜率为k的动直线与椭圆E相交于A、B两点,请问x轴上是否存在点M,使
为常数?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分16分)
已知椭圆
的左、右顶点分别A、B,椭圆过点(0,1)且离心率
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆上异于A,B两点的任意一点P作PH⊥
轴,H为垂足,延长HP到点Q,且PQ=HP,过点B作直线
轴,连结AQ并延长交直线
于点M,N为MB的中点,试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系
中,已知点
为椭圆
的右顶点, 点
,点
在椭
圆上,
.
(1)求直线
的方程;
(2)求直线
被过
三点的圆
截得的弦长;
(3)是否存在分别以
为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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设F
1
、F
2
分别为椭圆
+
=1的左、右焦点,c=
,若直线x=
上存在点P,使线段PF
1
的中垂线过点F
2
,则椭圆离心率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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如图,曲线
是以原点O为中心、
为焦点的椭圆的一部分,曲线
是以O为顶点、
为焦点的抛物线的一部分,A是曲线
和
的交点
且
为钝角.
(1)求曲线
和
的方程;
(2)过
作一条与
轴不垂直的直线,分别与曲线
依次交于B、C、D、E四点,若G为CD中点、H为BE中点,问
是否为定值?若是求出定值;若不是说明理由.
题型:不详
难度:
|
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