设椭圆x22+y2=1上一点P与原点O的距离为|OP|=r1,OP的倾斜角为θ,将射线OP绕原点O逆时针旋转90°后与椭圆相交于点Q,若|OQ|=r2,则r1r
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设椭圆x22+y2=1上一点P与原点O的距离为|OP|=r1,OP的倾斜角为θ,将射线OP绕原点O逆时针旋转90°后与椭圆相交于点Q,若|OQ|=r2,则r1r
题型:不详
难度:
来源:
设椭圆
x
2
2
+
y
2
=1
上一点P与原点O的距离为|OP|=r
1
,OP的倾斜角为θ,将射线OP绕原点O逆时针旋转90°后与椭圆相交于点Q,若|OQ|=r
2
,则r
1
r
2
的最小值为( )
A.
2
3
B.
4
3
C.
2
D.2
答案
设直线OP方程为y=kx,点P(x
1
,y
1
)
∵点P是椭圆
x
2
2
+
y
2
=1
与直线y=kx的交点
∴由
y=kx
x
2
2
+
y
2
=1
可得:
x
1
2
=
1
1
2
+
k
2
=
2
1+2
k
2
,
y
1
2
=k
2
x
2
=
2
k
2
1+2
k
2
∵点P与原点O的距离为|OP|=r
1
,
∴r
1
2
=
x
1
2
+
y
1
2
=
1+
k
2
1
2
+
k
2
=
2+2
k
2
1+2
k
2
,
∵OQ是由OP绕原点逆时针旋转90°而得,
∴直线OQ方程为y=
1
k
x,
再设Q(x
2
,y
2
),用类似于求r
1
2
的方法,可得r
2
2
=
x
2
2
+
y
2
2
=
2+2
k
2
2+
k
2
∴r
1
、r
2
满足
1
r
1
2
+
1
r
2
2
=
3
2
,可得
r
1
2
+
r
2
2
=
3
2
r
1
2
r
2
2
根据基本不等式,可得
r
1
2
+
r
2
2
≥2r
1
r
2
∴
3
2
r
1
2
r
2
2
≥2r
1
r
2
,即r
1
r
2
≥
4
3
,当且仅当r
1
=r
2
,即k
2
=1时,r
1
r
2
取到最小值
4
3
故选B
举一反三
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0),M,N是椭圆长轴的两个端点,P是椭圆上除了长轴端点外的任意一点,且直线PM、PN的斜率分别为k
1
、k
2
,若k
1
•k
2
=-
1
2
,则椭圆的离心率为______.
A.
1
2
B.
2
2
C.
3
2
D.
2
3
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆中心为坐标原点O,对称轴为坐标轴,左焦点F
1
,右顶点和上顶点分别是A,B,P为椭圆上的点,当PF
1
⊥x轴,且PO
∥
AB时,椭圆的离心率为( )
A.
1
2
B.
2
2
C.
2
-1
D.
6
-
3
题型:不详
难度:
|
查看答案
点M是椭圆
x
2
4
+
y
2
3
=1上的一点,F
1
,F
2
分别为椭圆左右焦点,则满足|MF
1
|=3|MF
2
|的点M坐标为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
3
=1(a>0)
的一条准线方程是x=4,那么此椭圆的离心率是 ______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
椭圆
x
2
4
+
y
2
=1
的焦点为F
1
,F
2
,点P在椭圆上,且线段PF
1
的中点恰好在y轴上,|PF
1
|=λ|PF
2
|,则λ=______.
题型:不详
难度:
|
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