已知椭圆C：的左、右两焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的一点，且在x轴的上方，H是PF1上一点，若，（其中O为坐标原点）， (Ⅰ)求椭圆C离心率e的最大值；

题型：山东省期末题难度：来源：

已知椭圆C：的左、右两焦点分别为F₁，F₂，P是椭圆C上的一点，且在x轴的上方，H是PF₁上一点，若，（其中O为坐标原点），
(Ⅰ)求椭圆C离心率e的最大值；
(Ⅱ)如果离心率e取(Ⅰ)中求得的最大值，已知b²=2，点M(-1，0)，设Q是椭圆C上的一点，过Q，M两点的直线l交y轴于点N，若，求直线l的方程。

答案

解：(Ⅰ)由题意知，，则有与相似，
所以，，
设，
则有，解得，
所以，，
根据椭圆的定义，得，
∴，即，
所以，，
显然在上是单调减函数，
当时，e²取得最大值，
所以，椭圆C离心率e的最大值为。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，解得：a²=4，
所以此时椭圆C的方程为，
由题意知直线l的斜率存在，故设其斜率为k，
则其方程为，
设，由于，
所以有，
∴，
又Q是椭圆C上一点，则，
解得：k=±4，
所以直线l的方程为4x-y+4=0或4x+y+4=0。