(1)∵双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,),∴=, ∴一条渐近线方程方程x-2y=0 ∵圆面积为12π,∴圆的半径为2 ∵以右焦点F2为圆心作圆与两条渐近线相切 ∴=2,∴c=2 ∴a2=16,b2=12 ∴双曲线的方程为-=1; (2)证明:设直线为x=my+n代入双曲线方程可得(3m2-4)y2+6mny+3n2-48=0 又双曲线的渐近线方程为-=0,直线方程代入可得(3m2-4)y2+6mny+3n2=0 ∵直线l与双曲线右支交于两点A,B,与渐近线交于两点C,D,A在B,C两点之间, ∴AB、CD 的中点重合 ∴|AC|=|BD|. |