(本小题主要考查圆、双曲线、直线方程和不等式等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,以及分类讨论思想与创新意识等.) 解:(1)因为,所以,所以. 1分 由及圆的性质,可知四边形是正方形,所以. 因为,所以,所以.3分 故双曲线离心率的取值范围为. 4分 (2)方法1:因为, 所以以点为圆心,为半径的圆的方程为. 5分 因为圆与圆两圆的公共弦所在的直线即为直线, 6分 所以联立方程组 7分 消去,,即得直线的方程为. 8分 方法2:设,已知点, 则,. 因为,所以,即. 5分
整理得. 因为,所以. 6分 因为,,根据平面几何知识可知,. 因为,所以. 7分 所以直线方程为. 即. 所以直线的方程为. 8分 方法3:设,已知点, 则,. 因为,所以,即. 5分 整理得. 因为,所以. 6分 这说明点在直线上. 7分 同理点也在直线上. 所以就是直线的方程. 8分 (3)由(2)知,直线的方程为, 所以点到直线的距离为. 因为, 所以三角形的面积. 10分 以下给出求三角形的面积的三种方法: 方法1:因为点在双曲线上, 所以,即. 设, 所以. 11分 因为, 所以当时,,当时,. 所以在上单调递增,在上单调递减. 12分 当,即时,, 13分 当,即时,. 综上可知,当时,;当时,. 14分 方法2:设,则. 11分 因为点在双曲线上,即,即. 所以. 令,则. 所以当时,,当时,. 所以在上单调递减,在上单调递增. 12分 当,即时,, 13分 当,即时,. 综上可知,当时,;当时,. 14分 方法3:设,则. 11分 因为点在双曲线上,即,即. 所以. 令, 所以在上单调递增,在上单调递减. 12分 因为,所以, 当,即时,,此时. 13分 当,即时,,此时. 综上可知,当时,;当时,. 14分 |