(12分)已知双曲线C的中心是原点,右焦点为F(,0),一条渐近线m:x+y=0,设过点A(-3,0)的直线l(1)求双曲线C的方程;(2)若过原点的直线a∥l

(12分)已知双曲线C的中心是原点,右焦点为F(,0),一条渐近线m:x+y=0,设过点A(-3,0)的直线l(1)求双曲线C的方程;(2)若过原点的直线a∥l

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(12分)已知双曲线C的中心是原点,右焦点为F(,0),一条渐近线m:x+y=0,设过点A(-3,0)的直线l
(1)求双曲线C的方程;
(2)若过原点的直线a∥l,且a与l的距离为,求k的值;
(3)证明:当k>时,在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为.
答案

(1)-y2=1
(2)k=±
(3)略
解析
(1)设双曲线C的方程为x2-2y2=λ(λ>0),
∴λ+=3,解得λ="2." 双曲线C的方程为-y2="1." (4分)
(2)直线l:kx-y+3k=0,直线a:kx-y=0.由题意,
,解得k=±.(8分)
(3)证法一:设过原点且平行于l的直线b: kx-y=0,则直线l与b的距离d=,当k>时,d>.(12分)
又双曲线C的渐近线为x±y=0,
∴双曲线C的右支在直线b的右下方,
∴双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于.
故在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为.
举一反三
双曲线的一条渐近线与圆相交于M、N两点且|MN|=2,则此双曲线的焦距是(▲)
A.B.C.D.

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等轴双曲线的一个焦点是,则它的渐近线方程为                 
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过双曲线的左焦点,作圆的切线,切点为,延长交双曲线右支于点,若,则双曲线的离心率为( ▲ ) 
A.B.C.D.

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若双曲线的焦点为(0,4)和(0,),虚轴长为,则双曲线的方程为(   ).
A.B.C.D.

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已知双曲线的离心率为,则双曲线的离心率为 
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