(1)设M(x,y)是曲线C上任意一点, 那么点M(x,y)满足-x=1(x>0), 化简,得y2=4x(x>0).…(3分) (2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 假设使•=1成立的直线l存在. ①当l不垂直于x轴时,设l的方程为y=kx+m, 由l与n垂直相交于P点且||=1. 得=1,即m2=k2+1.①…(4分) ∴•=1,||=1 ∴•=(+)•(+)…(5分) =+•+•+• =1+0+0-1=0, 即x1x2+y1y2=0.…(6分) 将y=kx+m代入方程y2=4x, 得k2x2+(2km-4)x+m2=0.…(7分) ∵l与C有两个交点, ∴k≠0,x1+x2=,x1x2=.② ∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m) =(1+k2)x1x2+km (x1+x2)+m2=0.③…(8分) 将②代入③得(1+k2)•+km•+m2=0. 化简,得m2+4km=0.…(9分) ∵||=1, ∴m≠0 ①∴m+4k=0 ④ 由①、④得,或,…(10分) 得存在两条直线l满足条件,其方程为:y=x-,y=x+. ②当l垂直于x轴时,则n为x轴,P点坐标为(1,0),A(1,2),B(1,-2). ∴=(0,-2),=(0,-2), ∴•=4≠1, 不合题意. 综上,符合题意的直线l有两条:y=x-+y=-x+.…(12分) 注:第Ⅱ问设l的方程为x=ly+m,联立y2=4x建立y的一元二次方程更简单,且不需讨论. |