已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F,过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A,B两点,且|AF|+|BF|=2,|AB|的最小值为2.(1)

已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F,过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A,B两点,且|AF|+|BF|=2,|AB|的最小值为2.(1)

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已知椭圆E=1(a>b>0)的右焦点为F,过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于AB两点,且|AF|+|BF|=2,|AB|的最小值为2.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若圆x2y2的切线L与椭圆E相交于PQ两点,当PQ两点横坐标不相等时,OP(O为坐标原点)与OQ是否垂直?若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由.
答案
(1)y2=1(2)垂直
解析
(1)设A(x0y0),则B(-x0,-y0),F(c,0)(c2a2b2)
|AF|+|BF|=2a=2,∴a.
又|AB|==2 ,0≤a2
∴|AB|min=2b=2,∴b=1,∴椭圆E的方程为y2=1.
(2)由题设条件可知直线L的斜率存在,设直线L的方程为ykxm.
∵直线L与圆x2y2相切,∴
m2 (k2+1).
ykxm代入y2=1中得,
(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,Δ=8(2k2+1-m2)>0.
P(x1y1),Q(x2y2),x1x2
x1x2①,x1x2②,
y1y2k2x1x2km(x1x2)+m2③.
·x1x2y1y2=0,
,即OPOQ垂直
举一反三
AB分别是直线yxy=-x上的动点,且|AB|=,设O为坐标原点,动点P满足.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)过点(,0)作两条互相垂直的直线l1l2,直线l1l2与点P的轨迹的相交弦分别为CDEF,设CDEF的弦中点分别为MN,求证:直线MN恒过一个定点.
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已知椭圆C的对称中心为原点O,焦点在x轴上,左右焦点分别为,且||=2,
点(1,)在该椭圆上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过的直线与椭圆C相交于A,B两点,若AB的面积为,求以为圆心且与直线相切圆的方程.
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已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).

(1)求抛物线C的方程;
(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点,若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.
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已知抛物线C顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;
(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.
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如图所示,在直角坐标系xOy中,点P到抛物线C:y2=2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分.

(1)求p,t的值;
(2)求△ABP面积的最大值.
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