已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F,过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A,B两点,且|AF|+|BF|=2,|AB|的最小值为2.(1)
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已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F,过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A,B两点,且|AF|+|BF|=2,|AB|的最小值为2.(1)
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
E
:
=1(
a
>
b
>0)的右焦点为
F
,过原点和
x
轴不重合的直线与椭圆
E
相交于
A
,
B
两点,且|
AF
|+|
BF
|=2
,|
AB
|的最小值为2.
(1)求椭圆
E
的方程;
(2)若圆
x
2
+
y
2
=
的切线
L
与椭圆
E
相交于
P
,
Q
两点,当
P
,
Q
两点横坐标不相等时,
OP
(
O
为坐标原点)与
OQ
是否垂直?若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由.
答案
(1)
+
y
2
=1(2)垂直
解析
(1)设
A
(
x
0
,
y
0
),则
B
(-
x
0
,-
y
0
),
F
(
c,
0)(
c
2
=
a
2
-
b
2
)
|
AF
|+|
BF
|=2
a
=2
,∴
a
=
.
又|
AB
|=
=2
,0≤
≤
a
2
,
∴|
AB
|
min
=2
b
=2,∴
b
=1,∴椭圆
E
的方程为
+
y
2
=1.
(2)由题设条件可知直线
L
的斜率存在,设直线
L
的方程为
y
=
kx
+
m
.
∵直线
L
与圆
x
2
+
y
2
=
相切,∴
,
∴
m
2
=
(
k
2
+1).
将
y
=
kx
+
m
代入
+
y
2
=1中得,
(1+2
k
2
)
x
2
+4
kmx
+2
m
2
-2=0,
Δ
=8(2
k
2
+1-
m
2
)>0.
令
P
(
x
1
,
y
1
),
Q
(
x
2
,
y
2
),
x
1
≠
x
2
,
则
x
1
+
x
2
=
①,
x
1
x
2
=
②,
y
1
y
2
=
k
2
x
1
x
2
+
km
(
x
1
+
x
2
)+
m
2
=
③.
∴
·
=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=
+
=
=0,
∴
⊥
,即
OP
与
OQ
垂直
举一反三
设
A
,
B
分别是直线
y
=
x
和
y
=-
x
上的动点,且|
AB
|=
,设
O
为坐标原点,动点
P
满足
=
+
.
(1)求点
P
的轨迹方程;
(2)过点(
,0)作两条互相垂直的直线
l
1
,
l
2
,直线
l
1
,
l
2
与点
P
的轨迹的相交弦分别为
CD
,
EF
,设
CD
,
EF
的弦中点分别为
M
,
N
,求证:直线
MN
恒过一个定点.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C的对称中心为原点O,焦点在x轴上,左右焦点分别为
和
,且|
|=2,
点(1,
)在该椭圆上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过
的直线
与椭圆C相交于A,B两点,若
A
B的面积为
,求以
为圆心且与直线
相切圆的方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点,若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为
,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当点P(x
0
,y
0
)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;
(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图所示,在直角坐标系xOy中,点P
到抛物线C:y
2
=2px(p>0)的准线的距离为
.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分.
(1)求p,t的值;
(2)求△ABP面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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