抛物线的方程为,过抛物线上一点()作斜率为的两条直线分别交抛物线于两点(三点互不相同),且满足(且).(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程;(2)设直线上一点,满

抛物线的方程为,过抛物线上一点()作斜率为的两条直线分别交抛物线于两点(三点互不相同),且满足(且).(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程;(2)设直线上一点,满

题型:不详难度:来源:
抛物线的方程为,过抛物线上一点()作斜率为的两条直线分别交抛物线两点(三点互不相同),且满足).
(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程;
(2)设直线上一点,满足,证明线段的中点在轴上;
(3)当=1时,若点的坐标为,求为钝角时点的纵坐标的取值范围.
答案
(1)焦点坐标为,准线方程为;(2)证明详见解析;(3).
解析

试题分析:(1)数形结合,依据抛物线的标准方程写出焦点坐标和准线方程;(2)设直线的方程为,直线的方程为,分别联立直线与抛物线的方程消去得到关于的一元二次方程,利用一元二次方程根与系数的关系,得到,再由求出点的横坐标,即可证明;(3)为钝角时,必有,用表示,通过的范围求的范围即可.
试题解析:(1)由抛物线的方程)得,焦点坐标为,准线方程为
(2)证明:设直线的方程为,直线的方程为
和点的坐标是方程组
的解将②式代入①式得,于是,故 ③
又点和点的坐标是方程组
的解将⑤式代入④式得于是,故
由已知得,,则  ⑥
设点的坐标为,由,则
将③式和⑥式代入上式得,即所以线段的中点在轴上
(3)因为点在抛物线上,所以,抛物线方程为
由③式知,代入
代入⑥式得,代入
因此,直线分别与抛物线的交点的坐标为
于是

为钝角且三点互不相同,故必有
求得的取值范围是又点的纵坐标满足,故
时,;当时,.
举一反三
如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍,且经过点M(2,1),平行于OM的直线ly轴上的截距为m,直线l与椭圆相交于AB两个不同点.

(1)求实数m的取值范围;
(2)证明:直线MAMBx轴围成的三角形是等腰三角形.
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已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F(0,),且长轴长与短轴长的比是∶1.
 
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C上在第一象限的一点P的横坐标为1,过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PAPB分别交椭圆C于另外两点AB,求证:直线AB的斜率为定值.
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已知椭圆E=1(ab>0),F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆的两个焦点,M为椭圆上任意一点,且|MF1|,|F1F2|,|MF2|构成等差数列,点F2(c,0)到直线lx的距离为3.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若存在以原点为圆心的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点AB,且,求出该圆的方程.
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已知椭圆C=1(ab>0)的离心率为,其左、右焦点分别是F1F2,过点F1的直线l交椭圆CEG两点,且△EGF2的周长为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点AB,设P为椭圆上一点,且满足t (O为坐标原点),当||<时,求实数t的取值范围.
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已知椭圆的右焦点为,设左顶点为A,上顶点为B且,如图.

(1)求椭圆的方程;
(2)若,过的直线交椭圆于两点,试确定的取值范围.
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