已知,曲线上任意一点分别与点、连线的斜率的乘积为.(Ⅰ)求曲线的方程;(Ⅱ)设直线与轴、轴分别交于、两点,若曲线与直线没有公共点,求证:.
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已知,曲线上任意一点分别与点、连线的斜率的乘积为.(Ⅰ)求曲线的方程;(Ⅱ)设直线与轴、轴分别交于、两点,若曲线与直线没有公共点,求证:.
题型:不详
难度:
来源:
已知
,曲线
上任意一点
分别与点
、
连线的斜率的乘积为
.
(Ⅰ)求曲线
的方程;
(Ⅱ)设直线
与
轴、
轴分别交于
、
两点,若曲线
与直线
没有公共点,求证:
.
答案
(Ⅰ)
,
.
(Ⅱ)由
得
,利用曲线
与直线
没有公共点,
,得到
,利用
,
,及均值定理确定
,
从而证得
.
解析
试题分析:(Ⅰ)设曲线
上任意一点
的坐标为
.利用依题意点
分别与点
、
连线的斜率的乘积为
,转化成代数式,整理可得
.
(Ⅱ)由
得
,利用曲线
与直线
没有公共点,
,得到
,利用
,
,及均值定理确定
,
从而证得
.
试题解析:(Ⅰ)设曲线
上任意一点
的坐标为
.
依题意
,且
, 3分
整理得
.所以,曲线
的方程为:
,
. 5分
(Ⅱ)由
得
,
, 7分
由已知条件可知
,
,所以
,
从而
, 即
. 13分
举一反三
已知椭圆C:
的离心率为
,
直线
:y=x+2与原点为圆心,以椭圆C的短轴长为直
径的圆相切.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点
的直线
与椭圆
交于
,
两点.设直线
的斜率
,在
轴上是否存在点
,使得
是以GH为底边的等腰三角形. 如果存在,求出实数
的取值范围,如果不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
双曲线
的左、右焦点分别为
和
,左、右顶点分别为
和
,过焦点
与
轴垂直的直线和双曲线的一个交点为
,若
是
和
的等比中项,则该双曲线的离心率为
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,曲线
与曲线
相交于
、
、
、
四个点.
⑴ 求
的取值范围;
⑵ 求四边形
的面积的最大值及此时对角线
与
的交点坐标.
题型:不详
难度:
|
查看答案
双曲线
的左、右焦点分别为
和
,左、右顶点分别为
和
,过焦点
与
轴垂直的直线和双曲线的一个交点为
,若
是
和
的等差中项,则该双曲线的离心率为
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
中心为
, 一个焦点为
的椭圆,截直线
所得弦中点的横坐标为
,则该椭圆方程是( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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