已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,以A

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,以A

题型:不详难度:来源:
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为


6
3
,短轴一个端点到右焦点的距离为


3

(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,以AB弦为直径的圆过坐标原点O,试探讨点O到直线l的距离是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由.
答案
(1)设椭圆的半焦距为c,依题意





c
a
=


6
3
a=


3
∴b=1,….(2分)
∴所求椭圆方程为
x2
3
+y2=1
.…..(4分)
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).
①当AB⊥x轴时,设AB方程为:x=m,此时A,B两点关于x轴对称,又以|AB|为直径的圆过原点,
设A(m,m)代入椭圆方程得:m=


3
2
….(6分)
②当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m.联立





x2
3
+y2=1
y=kx+m

整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0,∴x1+x2=
-6km
3k2+1
x1x2=
3(m2-1)
3k2+1
.….(8分)
y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=
3k2(m2-1)
1+3k2
+
-6k2m2
1+3k2
+m2
=
m2-3k2
1+3k2

由以|AB|为直径的圆过原点,则有


OA


OB
=0
.…..(10分)
即:x1x2+y1y2=0,故满足:
3(m2-1)
1+3k2
+
m2-3k2
1+3k2
=0
得:4m2=3+3k2,所以m2=
3
4
(k2+1)

又点O到直线AB的距离为:d=
|m|


1+k2
=


3
2


1+k2


1+k2
=


3
2

综上所述:点O到直线AB的距离为定值


3
2
.…(13分)
举一反三
如图,A(-1,0),B(1,0),过曲线C1:y=x2-1(|x|≥1)上一点M的切线l,与曲线C2:y=-


m(1-x2)
(|x|<1)
也相切于点N,记点M的横坐标为t(t>1).
(1)用t表示m的值和点N的坐标;
(2)当实数m取何值时,∠MAB=∠NAB?并求此时MN所在直线的方程.
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如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦距为2,且过点(


2


6
2
)

(1)求椭圆E的方程;
(2)若点A,B分别是椭圆E的左、右顶点,直线l经过点B且垂直于x轴,点P是椭圆上异于A,B的任意一点,直线AP交l于点M.
(ⅰ)设直线OM的斜率为k1,直线BP的斜率为k2,求证:k1k2为定值;
(ⅱ)设过点M垂直于PB的直线为m.求证:直线m过定点,并求出定点的坐标.
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如图,P是抛物线C:x2=2y上一点,F为抛物线的焦点,直线l过点P且与抛物线交于另一点Q,已知P(x1,y1),Q(x2,y2).
(1)若l经过点F,求弦长|PQ|的最小值;
(2)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0)与x轴交于点S,与y轴交于点T
①求证:
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=|b|(
1
y1
+
1
y2
)

②求
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范围.
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已知B(-1,1)是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)上一点,且点B到椭圆的两个焦点距离之和为4;
(1)求椭圆方程;
(2)设A为椭圆的左顶点,直线AB交y轴于点C,过C作斜率为k的直线l交椭圆于D,E两点,若
S△CBD
S△CAE
=
1
6
,求实数k的值.
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已知抛物线C1:y=x2,F为抛物线的焦点,椭圆C2
x2
2
+
y2
a2
=1
(0<a<2);
(1)若M是C1与C2在第一象限的交点,且|MF|=
3
4
,求实数a的值;
(2)设直线l:y=kx+1与抛物线C1交于A,B两个不同的点,l与椭圆C2交于P,Q两个不同点,AB中点为R,PQ中点为S,若O在以RS为直径的圆上,且k2
1
2
,求实数a的取值范围.
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