已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+2=0相切.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设P(
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+2=0相切.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设P(
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的离心率为
3
2
,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线
x-y+
2
=0
相切.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设P(4,0),M,N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点,连接PN交椭圆C于另一点E,求直线PN的斜率的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,证明直线ME与x轴相交于定点.
答案
(Ⅰ)由题意知
e=
c
a
=
3
2
,
所以
e
2
=
c
2
a
2
=
a
2
-
b
2
a
2
=
3
4
,即a
2
=4b
2
,∴a=2b
又因为
b=
2
1+1
=1
,∴a=2,故椭圆C的方程为
C:
x
2
4
+
y
2
=1
.(4分)
(Ⅱ)由题意知直线PN的斜率存在,设直线PN的方程为y=k(x-4).
由
y=k(x-4)
x
2
4
+
y
2
=1.
得(4k
2
+1)x
2
-32k
2
x+64k
2
-4=0.①(6分)
由△=(-32k
2
)
2
-4(4k
2
+1)(64k
2
-4)>0,得12k
2
-1<0,∴
-
3
6
<k<
3
6
(8分)
又k=0不合题意,所以直线PN的斜率的取值范围是:
(-
3
6
,0)∪
(0,
3
6
)
.(9分)
(Ⅲ)设点N(x
1
,y
1
),E(x
2
,y
2
),则M(x
1
,-y
1
).
直线ME的方程为
y-
y
2
=
y
2
+
y
1
x
2
-
x
1
(x-
x
2
)
.令y=0,得
x=
x
2
-
y
2
(
x
2
-
x
1
)
y
2
+
y
1
.(11分)
将y
1
=k(x
1
-4),y
2
=k(x
2
-4)代入整理,得
x=
2
x
1
x
2
-4(
x
1
+
x
2
)
x
1
+
x
2
-8
.②
由①得
x
1
+
x
2
=
32
k
2
4
k
2
+1
,
x
1
x
2
=
64
k
2
-4
4
k
2
+1
代入②整理,得x=1.(13分)
所以直线ME与x轴相交于定点(1,0).(14分)
举一反三
已知双曲线的中心在原点,左右焦点分别为F
1
,F
2
,离心率为
2
,且过点
(4,-
10
)
,
(1)求此双曲线的标准方程;
(2)若直线系kx-y-3k+m=0(其中k为参数)所过的定点M恰在双曲线上,求证:F
1
M⊥F
2
M.
题型:不详
难度:
|
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如图,线段MN的两个端点M、N分别在x轴、y轴上滑动,|MN|=5,点P是线段MN上一点,且
MP
=
2
3
PN
,点P随线段MN的运动而变化.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)过点(2,0)作直线l,与曲线C交于A、B两点,O是坐标原点,设
OS
=
OA
+
OB
,是否存在这样的直线l,使四边形OASB的对角线相等(即|OS|=|AB|)?若存在,求出直线l的方程;若不存在,试说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图所示,F
1
、F
2
分别为椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左、右两个焦点,A、B为两个顶点,已知椭圆C上的点
(1,
3
2
)
到F
1
、F
2
两点的距离之和为4.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过椭圆C的焦点F
2
作AB的平行线交椭圆于P、Q两点,求△F
1
PQ的面积.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C的方程为x
2
=2py(p>0),焦点F为(0,1),点P(x
1
,y
1
)是抛物线上的任意一点,过点P作抛物线的切线交抛物线的准线l于点A(s,t).
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)若x
1
∈[1,4],求s的取值范围.
(3)过点A作抛物线C的另一条切线AQ,其中Q(x
2
,y
2
)为切点,试问直线PQ是否恒过定点,若是,求出定点;若不是,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图,椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
=1(a>b>0)与过点A(2,0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e=
3
2
.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)设F
1
、F
2
分别为椭圆的左、右焦点,M为线段AF
1
的中点,求证:∠ATM=∠AF
1
T.
题型:不详
难度:
|
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