平面上点P与点F(0,1)的距离比它到直线y+2=0的距离小1(1)求出点P的轨迹方程;(2)过点F作点P的轨迹动弦CD,过C、D两点分别作点P的轨迹的切线,设
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平面上点P与点F(0,1)的距离比它到直线y+2=0的距离小1(1)求出点P的轨迹方程;(2)过点F作点P的轨迹动弦CD,过C、D两点分别作点P的轨迹的切线,设
题型:湖北模拟
难度:
来源:
平面上点P与点F(0,1)的距离比它到直线y+2=0的距离小1
(1)求出点P的轨迹方程;
(2)过点F作点P的轨迹动弦CD,过C、D两点分别作点P的轨迹的切线,设其交点为M,求点M的轨迹方程,并求出
FC
•
FD
F
M
2
的值.
答案
(1)由已知条件,点P与点F距离等于它到直线y=-1的距离,故其轨迹为以F(0,1)为焦点的抛物线.
∵
P
2
=1
∴P=2故点P的轨迹方程为x
2
=4y(6分)
(2)设
C(
x
3
,
1
4
x
3
2
)
,
D(
x
4
,
1
4
x
4
2
)
过抛物线上C、D两点的切线方程分别是
y=
1
2
x
3
x-
1
4
x
3
2
,
y=
1
2
x
4
x-
1
4
x
4
2
∴两条切线的交点M的坐标为
(
x
3
+
x
4
2
,
x
3
x
4
4
)
设CD的直线方程为y=nx+1,代入x
2
=4y得x
2
-4nx-4=0
∴x
3
x
4
=-4故M的坐标为
(
x
3
+
x
4
2
,-1)
故点M的轨迹为y=-1(10分)
∵
FC
=(
x
3
,
1
4
x
3
2
-1)
FD
=(
x
4
,
1
4
x
4
2
-1)
∴
FC
•
FD
=
x
3
x
4
+
1
4
x
3
2
•
1
4
x
4
2
-
1
4
(
x
3
2
+
x
4
2
)+1
=
x
3
x
4
+1-
1
4
(
x
3
2
+
x
4
2
)+1
=
-
1
4
(
x
3
2
+
x
4
2
)-2
而
FM
=(
x
3
+
x
4
2
-0
)
2
+(-1-1
)
2
=
x
3
2
+
x
4
2
+2
x
3
x
4
4
+4=
1
4
(
x
23
+
x
24
)+2
故
FA
•
FB
FM
2
=-1
(14分)
举一反三
直线
x-2y-2=0与曲线
x=
s
2
+1
y=2s
(其中s
为参数)交于A、B两点,点M 是线段AB的中点,则点M到y轴的距离是______.
题型:武汉模拟
难度:
|
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已知双曲线y
2
-x
2
=1,过上焦点F
2
的直线与下支交于A、B两点,且线段AF
2
、BF
2
的长度分别为m、n.
(1)证明mn≥1;
(2)若m>n,当直线AB的斜率
k∈[
1
3
,
5
5
]
时,求
m
n
的取值范围.
题型:武汉模拟
难度:
|
查看答案
已知双曲线y
2
-x
2
=1,过上焦点F
2
的直线与下支交于A、B两点,且线段AF
2
、BF
2
的长度分别为m、n.
(1)写出直线AB的斜率k的取值范围;
(2)证明mn≥1;
(3)当直线AB的斜率
k∈[
1
3
,
5
5
]
时,求mn的取值范围.
题型:武汉模拟
难度:
|
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设O为坐标原点,A(-
1
p
,0),点M在定直线x=-p(p>0)上移动,点N在线段MO的延长线上,且满足
|OM|
|MN|
=
1
|NA|
.
(Ⅰ)求动点N的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线?
(Ⅱ)若|AN|的最大值≤
3
2
,求p的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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若椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F
1
,F
2
,抛物线y
2
=4bx的焦点为M,若
|
F
1
M
|=2|
F
2
M
|
,则此椭圆的离心率为______.
题型:不详
难度:
|
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