过定点A(-1,1)是否存在直线l,使得点A恰为直线l与椭圆x2+3y2=9相交所得的线段的中点,若存在,请求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
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过定点A(-1,1)是否存在直线l,使得点A恰为直线l与椭圆x2+3y2=9相交所得的线段的中点,若存在,请求出直线l的方程;若不存在,请说明理由. |
答案
设过A点的直线交椭圆于B、C两点,B(x1,y1)、C(x2,y2) 则有x12+3y12=9,x22+3y22=9,(3分) 两式相减得:(x1+x2)( x1-x2)+3(y1+y2)( y1-y2)=0(6分) 因为A点是线段BC的中点,所以x1+x2=-2,y1+y2=2 (8分) 代入得:kBC==(10分) 所以l的方程为y=(x+1)+1(11分) 检验知:x-3 y+4=0为所求的方程.(12分) |
举一反三
P、Q是抛物线y=x2上顶点以外的两点,O为坐标原点.∠POQ=,直线l1、l2分别是过P、Q两点抛物线的切线.(Ⅰ)则l1、l2的交点M点的轨迹方程是______;(Ⅱ)若l1、l2分别交x轴于A、B两点,则过△ABM的垂心与点(0,-)的直线方程是______. |
已知直线l1:ax-by+k=0;l2:kx-y-1=0,其中a是常数,a≠0. (1)求直线l1和l2交点的轨迹,说明轨迹是什么曲线,若是二次曲线,试求出焦点坐标和离心率. (2)当a>0,y≥1时,轨迹上的点P(x,y)到点A(0,b)距离的最小值是否存在?若存在,求出这个最小值. |
已知倾斜角为45°的直线l过点A(1,-2)和点B,点B在第一象限,|AB|=3. (Ⅰ)求点B的坐标; (Ⅱ)若直线l与双曲线C:-y2=1(a>0)相交于E、F两点,且线段EF的中点坐标为(4,1),求a的值. |
已知椭圆的中心在原点,离心率e=,且它的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,则此椭圆方程为( ) |
过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=8,O为坐标原点,则△OAB的重心的横坐标为______. |
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