已知中心在原点,其中一个焦点为F(-1,0)的椭圆经过点P(2,-62),椭圆的右顶点为A,经过点F的直线l与椭圆交于两点B,C.(1)求椭圆的方程;(2)若△
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已知中心在原点,其中一个焦点为F(-1,0)的椭圆经过点P(2,-62),椭圆的右顶点为A,经过点F的直线l与椭圆交于两点B,C.(1)求椭圆的方程;(2)若△
题型:不详
难度:
来源:
已知中心在原点,其中一个焦点为F(-1,0)的椭圆经过点
P(
2
,-
6
2
)
,椭圆的右顶点为A,经过点F的直线l与椭圆交于两点B,C.
(1)求椭圆的方程;
(2)若△ABC的面积为
18
7
2
,求直线l的方程.
答案
(1)设椭圆的方程为:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1 (a>b>0)
(1分)
由题设知
a
2
-
b
2
=1
2
a
2
+
3
2
b
2
=1
,解得:
a=2
b=
3
(5分)
因此,椭圆的方程为:
x
2
4
+
y
2
3
=1.
(6分)
(2)若直线l⊥x轴,则l的方程为:x=-1,
此时B、C的坐标为
(-1,
3
2
)
、
(-1,-
3
2
).
由于点A的坐标为(2,0),则△ABC的面积为
9
2
.
不合题意,舍去:(7分)
若直线l不与x轴垂直,可设l的方程为:y=k(x+1).
则直线与椭圆恒有两交点.
由
y=k(x+1)
x
2
4
+
y
2
3
=1
,得:(3+4k
2
)x
2
+8k
2
x+4k
2
-12=0(8分)
记B(x
1
,y
1
)、C(x
2
,y
2
),则有
x
1
+
x
2
=-
8
k
2
3+4
k
2
x
1
x
2
=
4
k
2
-12
3+4
k
2
,(9分)
由于
|BC|=
(1+
k
2
)[
(
x
1
+
x
2
)
2
-4
x
1
x
2
]
=
12(1+
k
2
)
3+4
k
2
点A到直线l的距离为
|3k|
1+
k
2
,(11分)
将上面两式代入△ABC的面积公式可得:
1
2
•
12(1+
k
2
)
3+4
k
2
•
|3k|
1+
k
2
=
18
7
2
,(12分)
整理得:17k
4
+k
2
-18=0(13分)
解得:
k
2
=-
18
7
(舍去),k
2
=1故k=±1,
从而,直线l的方程为:y=±(x+1).(14分)
举一反三
已知椭圆C
1
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,其中F
2
也是抛物线C
2
:y
2
=4x的焦点,M是C
1
与C
2
在第一象限的交点,且
|
MF
2
|=
5
3
(I)求椭圆C
1
的方程;
(Ⅱ)已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C
1
上,顶点B、D在直线7x-7y+1=0上,求直线AC的方程.
题型:天津模拟
难度:
|
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已知椭圆
x
2
m
+
y
2
n
=1与双曲线
x
2
p
-
y
2
q
=1(m,n,p,q∈R
+
)有共同的焦点F
1
、F
2
,P是椭圆和双曲线的一个交点,则|PF
1
|•|PF
2
|=______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知两定点E(-
2
,0),F(
2
,0),动点P满足
PE
•
PF
=0,由点P向x轴作垂线PQ,垂足为Q,点M满足
PQ
=
2
MQ
,点M的轨迹为C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)若直线l交曲线C于A、B两点,且坐标原点O到直线l的距离为
2
2
,求|AB|的最大值及对应的直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
过双曲线
x
2
-
y
2
2
=1
的右焦点作直线交双曲线于A,B两点,且|AB|=4,则这样的直线有______条.
题型:不详
难度:
|
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当a∈(0,π]时,方程x
2
sina-y
2
cosa=1表示的曲线可能是______.(填上你认为正确的序号)
①圆;②两条平行线;③椭圆;④双曲线;⑤抛物线.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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